无向图的基本算法

Posted 2020-07-23 读书使人进步

　　根据性质，图可以分为无向图和有向图。本文先介绍无向图，后文再介绍有向图。之所以要研究图，是因为图在生活中应用比较广泛。

无向图

　　图是若干个顶点(Vertices)和边(Edges)相互连接组成的。边仅由两个顶点连接，并且没有方向的图称为无向图。在研究图之前，有一些定义需要明确，下图中表示了图的一些基本属性的含义，这里就不多说明。

 图的API表示

　　在研究图之前，我们需要选用适当的数据结构来表示图，有时候，我们常被我们的直觉欺骗,如下图，这两个其实是一样的，这其实也是一个研究问题，就是如何判断图的形态。

 　　要用计算机处理图，我们可以抽象出以下的表示图的API： 　　Graph的API的实现可以由多种不同的数据结构来表示，最基本的是维护一系列边的集合，

　　如下：还可以使用邻接矩阵来表示：

　　也可以使用邻接列表来表示： 

　　由于采用如上方式具有比较好的灵活性，采用邻接列表来表示的话，可以定义如下数据结构来表示一个Graph对象。

public class Graph
{
    private readonly int verticals;//顶点个数
    private int edges;//边的个数
    private List<int>[] adjacency;//顶点联接列表
 
    public Graph(int vertical)
    {
        this.verticals = vertical;
        this.edges = 0;
        adjacency=new List<int>[vertical];
        for (int v = 0; v < vertical; v++)
        {
            adjacency[v]=new List<int>();
        }
    }
 
    public int GetVerticals ()
    {
        return verticals;
    }
 
    public int GetEdges()
    {
        return edges;
    }
 
    public void AddEdge(int verticalStart, int verticalEnd)
    {
        adjacency[verticalStart].Add(verticalEnd);
        adjacency[verticalEnd].Add(verticalStart);
        edges++;
    }
 
    public List<int> GetAdjacency(int vetical)
    {
        return adjacency[vetical];
    }
}

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　　采用以上三种表示方式的效率如下：

　　在讨论完图的表示之后，我们来看下在图中比较重要的一种算法，即深度优先算法：

深度优先算法

　　在谈论深度优先算法之前，我们可以先看看迷宫探索问题。下面是一个迷宫和图之间的对应关系：迷宫中的每一个交会点代表图中的一个顶点，每一条通道对应一个边。 迷宫探索可以采用Trémaux绳索探索法。即：

• 在身后放一个绳子
• 访问到的每一个地方放一个绳索标记访问到的交会点和通道
• 当遇到已经访问过的地方，沿着绳索回退到之前没有访问过的地方：

　　图示如下：

　　下面是迷宫探索的一个小动画：

　　深度优先搜索算法模拟迷宫探索。在实际的图处理算法中，我们通常将图的表示和图的处理逻辑分开来。所以算法的整体设计模式如下：

• 创建一个Graph对象
• 将Graph对象传给图算法处理对象，如一个Paths对象
• 然后查询处理后的结果来获取信息

　　下面是深度优先的基本代码，我们可以看到，递归调用dfs方法，在调用之前判断该节点是否已经被访问过。

public class DepthFirstSearch {
    private boolean[] marked;    // marked[v] = is there an s-v path?
    private int count;           // number of vertices connected to s

   
    public DepthFirstSearch(Graph G, int s) {
        marked = new boolean[G.V()];
        dfs(G, s);
    }

    //depth first search from v
    private void dfs(Graph G, int v) {
        count++;
        marked[v] = true;
        for (int w : G.adj(v)) {
            if (!marked[w]) {
                dfs(G, w);
            }
        }
    }

    public boolean marked(int v) {
        return marked[v];
    }

    public int count() {
        return count;
    }
}

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　　试验一个算法最简单的办法是找一个简单的例子来实现。

深度优先路径查询

　　有了这个基础，我们可以实现基于深度优先的路径查询，要实现路径查询，我们必须定义一个变量来记录所探索到的路径。所以在上面的基础上定义一个edgesTo变量来后向记录所有到s的顶点的记录，和仅记录从当前节点到起始节点不同，我们记录图中的每一个节点到开始节点的路径。为了完成这一日任务，通过设置edgesTo[w]=v，我们记录从v到w的边，换句话说，v-w是最后一条从s到达w的边。edgesTo[]其实是一个指向其父节点的树。

public class DepthFirstPaths
{
    private bool[] marked;//记录是否被dfs访问过
    private int[] edgesTo;//记录最后一个到当前节点的顶点
    private int s;//搜索的起始点
 
    public DepthFirstPaths(Graph g, int s)
    {
        marked = new bool[g.GetVerticals()];
        edgesTo = new int[g.GetVerticals()];
        this.s = s;
        dfs(g, s);
    }
 
    private void dfs(Graph g, int v)
    {
        marked[v] = true;
        foreach (int w in g.GetAdjacency(v))
        {
            if (!marked[w])
            {
                edgesTo[w] = v;
                dfs(g,w);
            }
        }
    }
 
    public bool HasPathTo(int v)
    {
        return marked[v];
    }
 
    public Stack<int> PathTo(int v)
    {
 
        if (!HasPathTo(v)) return null;
        Stack<int> path = new Stack<int>();
 
        for (int x = v; x!=s; x=edgesTo[x])
        {
            path.Push(x);
        }
        path.Push(s);
        return path;
    }
}

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　　上图中是黑色线条表示深度优先搜索中，所有定点到原点0的路径，他是通过edgeTo[]这个变量记录的，可以从右边可以看出，他其实是一颗树，树根即是原点，每个子节点到树根的路径即是从原点到该子节点的路径。下图是深度优先搜索算法的一个简单例子的追踪。 

广度优先算法

　　通常我们更关注的是一类单源最短路径的问题，那就是给定一个图和一个源S，是否存在一条从s到给定顶点v的路径，如果存在，找出最短的那条(这里最短定义为边的条数最小)。深度优先算法是将未被访问的节点放到一个栈中(stack)，虽然在上面的代码中没有明确在代码中写stack，但是递归间接的利用递归堆实现了这一原理。和深度优先算法不同，广度优先是将所有未被访问的节点放到了队列中。其主要原理是：

• 将s放到FIFO中，并且将s标记为已访问
• 重复直到队列为空

1. 移除最近最近添加的顶点v
2. 将v未被访问的邻接点添加到队列中
3. 标记他们为已经访问

　　广度优先是以距离递增的方式来搜索路径的。

class BreadthFirstSearch
{
    private bool[] marked;
    private int[] edgeTo;
    private int sourceVetical;//Source vertical
 
    public BreadthFirstSearch(Graph g, int s)
    {
        marked=new bool[g.GetVerticals()];
        edgeTo=new int[g.GetVerticals()];
        this.sourceVetical = s;
        bfs(g, s);
    }
 
    private void bfs(Graph g, int s)
    {
        Queue<int> queue = new Queue<int>();
        marked[s] = true;
        queue.Enqueue(s);
        while (queue.Count()!=0)
        {
            int v = queue.Dequeue();
            foreach (int w in g.GetAdjacency(v))
            {
                if (!marked[w])
                {
                    edgeTo[w] = v;
                    marked[w] = true;
                    queue.Enqueue(w);
                }
            }
        }
    }
 
    public bool HasPathTo(int v)
    {
        return marked[v];
    }
 
    public Stack<int> PathTo(int v)
    {
        if (!HasPathTo(v)) return null;
 
        Stack<int> path = new Stack<int>();
        for (int x = v; x!=sourceVetical; x=edgeTo[x])
        {
            path.Push(x);
        }
        path.Push(sourceVetical);
        return path;
    }
 
}

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　　广度优先算法的搜索步骤如下：

　　广度优先搜索首先是在距离起始点为1的范围内的所有邻接点中查找有没有到达目标结点的对象，如果没有，继续前进在距离起始点为2的范围内查找，依次向前推进。

连通分量

　　使用深度优先遍历计算图的所有连通分量。

package Graph;

public class CC {
    private boolean[] marked;
    private int[] id;
    private int count;

    public CC(Graph graph, int s) {
        marked = new boolean[graph.V()];
        id = new int[graph.V()];
        for (int i =0; i < graph.V(); i++) {
            if (!marked(i)) {
                dfs(graph, i);
                count++;
            }
        }
    }

    private void dfs(Graph graph, int s) {
        marked[s] = true;
        id[s] = count;
        for (int W : graph.adj(s)) {
            if (marked(W))
                dfs(graph, W);
        }
    }

    //判断v和W是否连通
    public boolean connected(int v, int w) {
        return id[v] == id[w];
    }
    //返回W所在的连通分量的标识符
    public int id(int v) {
        return id[v];
    }

    public boolean marked(int w) {
        return marked[w];
    }
    //连通分量
    public int count() {
        return count;
    }
}

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总结

　　本文简要介绍了无向图中的深度优先和广度优先算法，这两种算法时图处理算法中的最基础算法，也是后续更复杂算法的基础。其中图的表示，图算法与表示的分离这种思想在后续的算法介绍中会一直沿用，下文将讲解无向图中深度优先和广度优先的应用，以及利用这两种基本算法解决实际问题的应用。