抛物线的几何性质（传统几何法推导）

Posted 2020-07-21 假如你是李华

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了抛物线的几何性质（传统几何法推导）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

抛物线有很多几何性质，网上也有不少关于这些性质的推导的文章，不过几乎清一色地都是用的解析几何的方法。联立方程，导出根与系数的关系，算算算算算……

但是，与同样是二次曲线的椭圆和双曲线不同，圆和抛物线的几何性质非常「好」，不用坐标法，也能推出很多结论。不过相比具有完美对称性的圆来说，抛物线还是逊色了许多。圆的切线很容易用几何条件去描述（容易用反证法证出圆的切线垂直于过切点的直径），而抛物线的切线虽然也容易用几何条件描述，但相关结论却难以用纯几何法证出。所以涉及切线问题时，还是需要用坐标法证明一个重要结论的。虽然如此，本文的证明过程还是要比带着一大坨方程的纯代数法清爽得多。

要证结论，得先给出定义：

定义　由平面内到一个定点和一条定直线距离相等的所有点构成的图形，称为抛物线. 定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线, 焦点到准线的距离称为焦准距.

结论 1　抛物线是轴对称图形，准线过焦点的垂线是它的一条对称轴.

证明

设焦点为 \\(F\\), 准线为 \\(l\\), 轴为 \\(a\\), 抛物线上有一点 \\(P\\). 过 \\(P\\) 作 \\(PP\'\\perp l\\), 垂足为 \\(P\'\\). 当 \\(P\\) 不在 \\(a\\) 上时，作 \\(P\\) 关于 \\(a\\) 的对称点 \\(Q\\), 作 \\(P\'\\) 关于 \\(a\\) 的对称点 \\(Q\'\\). 连接 \\(FP\\)、\\(FQ\\). 由 \\(a \\perp l\\) 知 \\( PP\'\\parallel a \\), 所以 \\( QQ\'\\parallel a \\), 所以 \\(QQ\' \\perp l\\). 由对称知 \\(PP\'=QQ\'\\), \\(FP=FQ\\), 又 \\( FP=PP\' \\), 所以 \\( FQ=QQ\' \\), 所以 \\(Q\\) 在抛物线上, 结论得证.

定义　抛物线的准线过焦点的垂线称为抛物线的轴, 轴与抛物线的交点称为抛物线的顶点.

结论 2　设抛物线的焦点为 \\(F\\), 顶点为 \\(O\\), 焦准距为 \\(p\\), 对于抛物线上任意一点 \\(P\\), \\(FP = \\frac{p}{1+\\cos{\\angle{OFP}}}\\).

证明

设 \\(FP=\\rho\\), \\(\\angle{OFP}=\\theta\\).

如图，当 \\(\\theta > 90^{\\circ}\\) 时，作 \\(FP\\) 在轴上的投影，易得 \\(\\rho = p-\\rho\\cos{\\theta}\\). 整理得 \\(\\rho = \\frac{p}{1+\\cos{\\theta}}\\), 即 \\(FP = \\frac{p}{1+\\cos{\\angle{OFP}}}\\).

同理可证当 \\(0^{\\circ} < \\theta < 90^{\\circ}\\) 时，结论仍然成立.

当 \\(\\theta = 90^{\\circ}\\) 时，\\( PF=p \\), 结论仍然成立。

当 \\(\\theta = 0^{\\circ}\\) 时，\\( PF = \\frac{p}{2} \\), 结论仍然成立.

综上，对于抛物线上任意一点 \\(P\\), 结论成立.

推论 1　设抛物线的焦准距为 \\(p\\), 过抛物线焦点 \\(F\\) 的直线与抛物线交于 \\(A\\)、\\(B\\) 两点，则有 \\(\\frac{1}{AF}+\\frac{1}{BF}=\\frac{2}{p}\\).

推论 2　设抛物线的顶点为 \\(O\\), 焦准距为 \\(p\\), \\(\\angle{OFP}=\\theta\\), 过抛物线焦点 \\(F\\) 的直线与抛物线交于 \\(A\\)、\\(B\\) 两点，则有 \\(AB=\\frac{2p}{\\sin^2{\\theta}}\\).

结论 3　设抛物线轴与准线的交点为 \\(K\\), 过抛物线焦点 \\(F\\) 的直线与抛物线交于 \\(A\\)、\\(B\\) 两点, 则轴平分 \\(\\angle{AKB}\\).

如图，设准线为 \\(l\\), 轴为 \\(a\\), 过 \\(A\\) 作 \\(AD\\perp l\\), 交 \\(l\\) 于 \\(D\\), 过 B 作 \\(BC\\perp l\\), 交 \\(l\\) 于 \\(C\\).

\\(\\because\\) \\(AD\\perp l\\) 且 \\(BC\\perp l\\)

\\(\\therefore\\) \\(AD\\parallel a\\) 且 \\(BC\\parallel a\\)

\\(\\therefore\\) \\(\\frac{KD}{KC}=\\frac{FA}{FB} \\)

又 \\(\\because\\) \\(FA=AD\\) 且 \\(FB=BC\\)

\\(\\therefore\\) \\(\\frac{KD}{KC}=\\frac{AD}{BC} \\)

\\(\\therefore\\) \\(\\triangle{KDA}\\sim \\triangle{KCB}\\)

\\(\\therefore\\) \\(\\angle{DKA} = \\angle{CKB}\\)

\\(\\therefore\\) 轴平分 \\(\\angle{AKB}\\)

结论 4　设抛物线焦点为 \\(F\\), 准线为 \\(l\\), 轴与准线的交点为 \\(K\\), 过 \\(F\\) 的直线与抛物线交于 \\(A\\)、\\(B\\) 两点，过 \\(A\\) 作 \\(AD\\perp l\\), 交 \\(l\\) 于 \\(D\\), 过 B 作 \\(BC\\perp l\\), 交 \\(l\\) 于 \\(C\\), 则\\(FD\\) 平分 \\(\\angle{KFA}\\), \\(FC\\) 平分 \\(\\angle{KFB}\\), \\(FC\\perp FD\\).

证明

\\(\\because\\) \\(FB=BC\\), \\(FA=AD\\)

\\(\\therefore\\) \\(\\angle{AFD}=\\angle{ADF}\\), \\(\\angle{BFC}=\\angle{BCF}\\)

\\(\\because\\) \\(KF\\parallel AD\\), \\(KF\\parallel BC\\)

\\(\\therefore\\) \\(\\angle{KFD}=\\angle{ADF}\\), \\(\\angle{KFC}=\\angle{FCB}\\)

\\(\\therefore\\) \\(FD\\) 平分 \\(\\angle{KFA}\\), \\(FC\\) 平分 \\(\\angle{KFB}\\)

\\(\\therefore\\) \\(FC\\perp FD\\)

结论 5　设抛物线焦点为 \\(F\\), 准线为 \\(l\\), 顶点为 \\(O\\), 过 \\(F\\) 的直线与抛物线交于 \\(A\\)、\\(B\\) 两点，过 \\(A\\) 作 \\(AD\\perp l\\), 交 \\(l\\) 于 \\(D\\), 过 B 作 \\(BC\\perp l\\), 交 \\(l\\) 于 \\(C\\), 则 \\(A\\)、\\(O\\)、\\(C\\) 三点共线，\\(B\\)、\\(O\\)、\\(D\\) 三点共线.

证明

连接 \\(AC\\) 交轴于 \\(O\'\\)

由 \\(\\triangle{AO\'F}\\sim \\triangle{ACB}\\) 得

\\( \\frac{BC}{O\'F}= \\frac{AB}{AF} \\)

\\( \\frac{BF}{O\'F}= \\frac{AF+BF}{AF} \\)

\\( \\frac{BF}{O\'F}= 1+\\frac{BF}{AF} \\)

\\( \\frac{1}{O\'F}= \\frac{1}{BF}+\\frac{1}{AF} \\)

由结论 2 推论 1 得

\\( \\frac{1}{O\'F}= \\frac{2}{p} \\)

\\( O\'F= \\frac{p}{2} \\)

\\( \\therefore \\) \\(O\'\\) 与 \\(O\\) 重合

\\( \\therefore \\) \\(A\\)、\\(O\\)、\\(C\\) 三点共线

同理可得 \\(B\\)、\\(O\\)、\\(D\\) 三点共线.

\\( \\therefore \\) 结论成立.

下面用坐标法证明抛物线切线的一个几何性质，作为描述抛物线切线的几何条件。

定理　在平面直角坐标系 \\(xOy\\) 中，焦点为 \\( (0, \\frac{p}{2}) \\), 准线为 \\( y=-\\frac{p}{2} \\) 的抛物线的方程为 \\( x^2=2py \\).

证明略.

结论 6　设抛物线顶点为 \\(O\\), 过顶点的切线为 \\(l\\), 抛物线上有一异于顶点的点 \\(P\\). 过点 P 作抛物线的切线 \\(m\\), 交 \\(l\\) 于 \\(M\\), \\(P\\) 在 \\(l\\) 上的投影为 \\(P\'\\), 则 \\(M\\) 是 \\(OP\\) 的中点.

证明

如图建系. 设 \\( P(x_0, y_0) \\)

\\( y=\\frac{x^2}{2p} \\)

\\(\\Rightarrow y\'=\\frac{x}{p} \\)

\\(\\Rightarrow m: y-y_0 = \\frac{x_0}{p}(x-x_0)\\)

令 \\( y=0 \\), 得

\\( -y_0 = \\frac{x_0}{p}(x-x_0)\\)

解得

\\( x = \\frac{x_0}{2} \\)

\\( \\therefore \\) 结论得证

结论 7　设抛物线顶点为 \\(O\\), 焦点为 \\(F\\), 准线为 \\(l\\), 轴与准线的交点为 \\(K\\), 过顶点的切线为 \\(m\\), 抛物线上有一异于顶点的点 \\(P\\). 过点 \\(P\\) 作抛物线的切线 \\(t\\), 交 \\(m\\) 于 \\(M\\). 过 \\(P\\) 作 \\(PD\\perp l\\), 交 \\(l\\) 于 \\(D\\), 则 \\(F\\)、\\(D\\)、\\(M\\) 三点共线，切线 \\(PM\\) 是 \\(FD\\) 的垂直平分线.

证明

由 \\(O\\) 是 \\(KF\\) 的中点及结论 6 可知，\\(F\\)、\\(D\\)、\\(M\\) 三点共线

\\( \\therefore \\) \\( DM=FM \\)

又 \\( \\because \\) \\( PF=PD \\), \\( MP=MP \\)

\\( \\therefore \\) \\( \\triangle{PMF}\\cong \\triangle{PMD} \\)

\\( \\therefore \\) \\(PM\\) 垂直平分 \\(FD\\)

\\( \\therefore \\) 结论得证

推论从抛物线的焦点射出的光线，经抛物线反射后沿与抛物线的轴平行的方向射出.

结论 8　设抛物线焦点为 \\(F\\), 准线为 \\(l\\), 过顶点的切线为 \\(m\\), 过 \\(F\\) 的直线与抛物线交于 \\(A\\)、\\(B\\) 两点，过 \\(A\\) 作 \\(AD\\perp l\\), 交 \\(l\\) 于 \\(D\\), 过 B 作 \\(BC\\perp l\\), 交 \\(l\\) 于 \\(C\\), 过 \\(A\\)、\\(B\\) 作分别抛物线的切线 \\(t_1\\)、\\(t_2\\), \\( t_1\\cap m=G \\), \\( t_2\\cap m=H \\), 则 \\(t_1\\) 与 \\(t_2\\) 的交点 \\(T\\) 在 \\(l\\) 上，\\(TC=TD\\), 且 \\(TA\\perp TB\\).