用程序消除一道概率题的二义性

Posted 2021-01-19

  无意在维基看到了一个关于概率悖论的讨论Boy or Girl paradox。有争议的的题目如下:
  史密斯先生有两个孩子，至少其中之一是男孩，请问两个孩子都是男孩的可能性有多大？
  原文如下：
  Mr. Smith has two children. At least one of them is a boy. What is the probability that both children are boys?
  一部分人的答案是1/3，一部分人的答案是1/2.为什么会产生这样的结果呢，文中说得很清楚是因为问题本身存在歧义，对“至少一个孩子是男孩”的信息做不同的假设，导致了不同的结果。问题归根结底是由于自然语言的二义性，将问题转化成了两个不同的数学模型，从而产生了两个不同的结果。我们知道设计一种编程语言的任务之一就是消除其二义性，因此一般而言编程语言是一种没有歧义的语言（所以程序员都喜欢写代码不喜欢说话么），如果用编程语言来描述这一问题，会不会好理解点呢？以java为例，我们来看看。
  以下是对史密斯先生有两个孩子的可能情况进行描述，其中random.nextBoolean()函数随机返回true或false的概率均为1/2,用于模拟现实中生男孩女孩的概率各一半。可见程序不仅描述了所有的组合，还明确了题目中暗含的条件。

 class TwoChildren
    {
        Child child1;
        Child child2;
        public TwoChildren()//一个孩子是男孩或女孩的概率是50%
        {
            child1 = random.nextBoolean()?Child.BOY:Child.GIRL;
            child2 = random.nextBoolean()?Child.BOY:Child.GIRL;
        }
    }

  接着描述“至少一个孩子是男孩”，因为这里是存在歧义的地方，所以转化成代码描述时，我们会根据两个不同的假定，得到不同的代码。1/3结果的假定条件：观察了史密斯的两个孩子，其中一个是男孩：

boolean isObserved(TwoChildren draw) 
{
    return draw.child1 == Child.BOY || draw.child2 == Child.BOY;
}

熟悉java的程序员会注意到，如果child1为BOY的话，child2不会被观察（||运算符后面的代码不会被执行），是否和自然语言描述不一样？我们从逻辑或运算定义可知二者是等价的，即使||运算符后面的代码被执行，也不影响程序结果，换成自然语言就是我们观察史密斯的两个孩子时，一个一个的观察，如果发现其中一个是男孩，就已经保证了“至少一个是男孩”，就没必要接着观察了。
  接着描述1/2的结果假定条件：随机观察了史密斯的一个孩子，其中一个是男孩：

boolean isObserved(TwoChildren draw) 
{
    return random.nextBoolean()?draw.child1 == Child.BOY:draw.child2 == Child.BOY;
}

其中random.nextBoolean()函数随机返回true或false的概率均为1/2，就是两个孩子被选中观察的概率是1/2.

最后我们描述问题的提出

if(isObserved(draw))
{
    observedCount ++;
    if(draw.child1 == Child.BOY && draw.child2 == Child.BOY)
    {//两个孩子都是男孩
        matchedCount++;
      //经过很多次运算后，((double)matchedCount/observedCount)最可能的值是多少？
    }
}

  至此我们将一个以自然语言描述的问题，转化成了一个以程序语言描述的问题。这个转化是否正确呢，我们做10万次测试，看结果是否满足数学推导的预期。以下是一个完整的测试代码：

package hermitdl.test2;

import java.util.Random;

/**
 * Test for <<Boy or Girl paradox>>
 */
public class App 
{
    static enum Child
    {
        BOY,
        GIRL
    };

    static Random random = new Random();

    static class TwoChildren
    {
        Child child1;
        Child child2;
        public TwoChildren()//一个孩子是男孩或女孩的概率是50%
        {
            child1 = random.nextBoolean()?Child.BOY:Child.GIRL;
            child2 = random.nextBoolean()?Child.BOY:Child.GIRL;
        }
    }
    //随机检查一个孩子的性别是否是男孩
    static class PeekOneTest extends ProbabilityTest
    {
        @Override
        boolean isObserved(TwoChildren draw) 
        {
            return random.nextBoolean()?draw.child1 == Child.BOY:draw.child2 == Child.BOY;
        }
    }
    //检查两个孩子的性别，是否其中之一是男孩
    static class PeekTwoTest extends ProbabilityTest
    {
        @Override
        boolean isObserved(TwoChildren draw) 
        {
            return draw.child1 == Child.BOY || draw.child2 == Child.BOY;
        }
    }

    static abstract class ProbabilityTest
    {
        int observedCount = 0;
        int matchedCount = 0;
        //在isObserved为真的情况下计数，以及两个孩子均是女孩的情况计数。
        void test(TwoChildren draw)
        {
            if(isObserved(draw))
            {
                observedCount ++;
                if(draw.child1 == Child.BOY && draw.child2 == Child.BOY)
                {
                    ////两个孩子都是男孩
                    matchedCount++;
                }
            }
        }
        abstract boolean isObserved(TwoChildren draw);

        void printResult()
        {
            System.out.printf(this.getClass().getSimpleName() +"=%d/%d=%f\n"
            ,matchedCount
            ,observedCount
            ,((double)matchedCount/observedCount));
        }
    }

    public static void main( String[] args )
    {
        PeekOneTest peekOneTest = new PeekOneTest();
        PeekTwoTest peekTwoTest = new PeekTwoTest();
        TwoChildren draw;
        for(int i = 0;i < 1000000; i++)
        {
            draw = new TwoChildren();
            peekOneTest.test(draw);
            peekTwoTest.test(draw);
        }
        peekOneTest.printResult();
        peekTwoTest.printResult();
    }
}

以下为程序的几次运行结果：
PeekOneTest=249436/499301=0.499570
PeekTwoTest=249436/750234=0.332478

PeekOneTest=250209/500229=0.500189
PeekTwoTest=250209/749846=0.333681

PeekOneTest=249963/500234=0.499692
PeekTwoTest=249963/749712=0.333412

  可见模拟结果始终分别在1/2与1/3附近波动，是符合数学预期的。