高等数学（拉格朗日乘子法）：NOI 2012 骑行川藏

Posted 2020-07-20 既然选择了远方，便只顾风雨兼程

[NOI2012] 骑行川藏

输入文件：bicycling.in   输出文件：bicycling.out   评测插件
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NOI2012 Day1

Description

蛋蛋非常热衷于挑战自我，今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨。川藏线的沿途有着非常美丽的风景，但在这一路上也有着很多的艰难险阻，路况变化多端，而蛋蛋的体力十分有限，因此在每天的骑行前设定好目的地、同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情。
由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车，因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功（不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响）。某一天他打算骑 N段路，每一段内的路况可视为相同：对于第i段路，我们给出有关这段路况的3个参数 si , ki , vi‘ ，其中 si 表示这段路的长度， ki 表示这段路的风阻系数， vi‘ 表示这段路上的风速（表示在这段路上他遇到了顺风，反之则意味着他将受逆风影响）。若某一时刻在这段路上骑车速度为v，则他受到的风阻大小为 F = ki ( v - vi‘ )^2（这样若在长度为s的路程内保持骑行速度v不变，则他消耗能量（做功）E = ki ( v - vi‘ )^2 s）。
设蛋蛋在这天开始时的体能值是 Eu ，请帮助他设计一种行车方案，使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间T是多少。

【评分方法】
本题没有部分分，你程序的输出只有和标准答案的差距不超过0.000001时，才能获得该测试点的满分，否则不得分。

【数据规模与约定】
对于10%的数据，N=1；
对于40%的数据，N<=2；
对于60%的数据，N<=100；
对于80%的数据，N<=1000； 
对于所有数据，N <= 10000，0 <= Eu <= 108，0 < si <= 100000，0 < ki <= 1，-100 < vi‘ < 100。数据保证最终的答案不会超过105。

【提示】
必然存在一种最优的体力方案满足：蛋蛋在每段路上都采用匀速骑行的方式。

Input

第一行包含一个正整数N和一个实数Eu，分别表示路段的数量以及蛋蛋的体能值。 接下来N行分别描述N个路段，每行有3个实数 si , ki , vi‘ ，分别表示第 i 段路的长度，风阻系数以及风速。

Output

输出一个实数T，表示蛋蛋到达目的地消耗的最短时间，要求至少保留到小数点后6位。

Sample Input

3 10000
10000 10 5
20000 15 8
50000 5 6

Sample Output

12531.34496464
【样例说明】 一种可能的方案是：蛋蛋在三段路上都采用匀速骑行的方式，其速度依次为5.12939919, 8.03515481, 6.17837967。

 

 

如果不懂思想，建议去看网易公开课的MIT讲座。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdio>
 4 using namespace std;
 5 const int maxn=10010;
 6 double s[maxn],k[maxn],v[maxn];
 7 double E,lam,x[maxn];
 8 int n;
 9 int main(){
10 #ifndef ONLINE_JUDGE
11     freopen("bicycling.in","r",stdin);
12     freopen("bicycling.out","w",stdout);
13 #endif    
14     scanf("%d%lf",&n,&E);
15     for(int i=1;i<=n;i++){
16         scanf("%lf%lf%lf",&s[i],&k[i],&v[i]);
17         if(s[i]==0.0)i-=1,n-=1;
18     }
19     double l=-1000.0,r=0.0,tot;
20     for(int t=1;t<=60;t++){
21         lam=(l+r)/2.0;tot=0.0;
22         for(int i=1;i<=n;i++){
23             double lo=max(v[i],0.0),hi=1e20;
24             for(int j=1;j<=120;j++){
25                 double X=(lo+hi)/2.0;
26                 if(2*lam*k[i]*X*X*(X-v[i])+1>0)
27                     lo=X;
28                 else    
29                     hi=X;
30             }
31             x[i]=lo;
32             tot+=s[i]*k[i]*(x[i]-v[i])*(x[i]-v[i]);
33         }
34         if(tot>E)
35             r=lam;
36         else
37             l=lam;    
38     }
39     double ans=0.0;
40     for(int i=1;i<=n;i++)
41         ans+=s[i]/x[i];
42     printf("%.10lf\n",ans);
43     return 0;
44 }