数学基础系列----拉格朗日乘子法行列式矩阵基础

Posted 2021-03-18 xiaoyh

一、拉格朗日乘子法

1、通俗解释

给个函数：$Z=f(x,y)$如何求出它的极值点呢？有了前面的知识，简单来说直接求它的偏导不就OK了吗？

　　

那现在假如说对这个函数加上一个约束条件呢？也就说现在假如有这样一个约束条件$2xy+2yz+2zx=S$，那该怎么样求出函数$Z(x,y,z)=xyz$的最大值呢？

在这样的约束条件下，到底什么点是我们想要的？

假如说我们现在有这样一座山峰，这座山峰的高度是$f(x,y)$，其中有一条曲线是$g(x,y) =C$。曲线镶嵌在山上，我们该如何找到曲线的最低点呢？

　　

为了找到曲线上的最低点，首先就从最低的等高线（0那条）开始往上数。数到第三条，等高线终于和曲线有交点了（如上图所示）。因为比这条等高线低的地方都不在约束范围内，所以这肯定是这条约束曲线的最低点了。

而且约束曲线在这里不可能和等高线相交，一定是相切。因为如果是相交的话，如下图所示，那么曲线一定会有一部分在B区域，但是B区域比等高线低，这是不可能的。

　　

两条曲线相切，意味着它们在这点的法线平行，也就是法向量只差一个任意的常数乘子(取为$-lambda $)：$igtriangledown f(x,y)=-lambda igtriangledown g(x,y)$，其中$igtriangledown$表示偏导。

我们可以把上式的右边移到左边，并把常数移进微分算子然后得到：$igtriangledown f(x,y)+lambda igtriangledown g(x,y)=0$。

把这个式子重新解释一下，这个就是$f(x,y)+lambda g(x,y)$无约束情况下极值点的必要条件。简单来说，就是把带有约束条件下的求极值转化为无约束条件下的求极值。

2、使用方法

然后我们看下拉格朗日乘子法具体的使用方法。求解函数：$z=f(x,y)$在条件$varphi (x,y)=0$条件下的极值。

既然求极值，那就是令其偏导等于0。

构造函数$F(x,y)=f(x,y)+lambda varphi(x,y)$，其中$lambda$为拉格朗日乘数。如此，我们就可以得到下面的这个表达式

　　

这样通过上面的方程组求解出来的（X，Y）就是极值点坐标。

拉格朗日乘子法一般用于自变量多于两个的条件下。

求解函数：$u=f(x,y,z,t) $在条件$varphi (x,y,z,t)=0,psi (x,y,z,t)=0$下的极值。

同理构造函数：$F(x,y,z,t)=f(x,y,z,t) +lambda _{1}varphi (x,y,z,t)+lambda _{2}psi (x,y,z,t)$。其中$lambda _{1},lambda _{2}$均为拉格朗日乘数，同样通过偏导为0以及约束条件求解极值点坐标。

3、例题

求函数$u=x^{3}y^{2}z$在约束条件x+y+z=12下的最大值。

同理构造函数：$F(x,y,z)=x^{3}y^{2}z+lambda (x+y+z-12)$。然后分别求偏导，得到如下表达式。

$left{egin{matrix}
F_{x}‘=3x^{2}y^{2}z+lambda =0
F_{y}‘=2x^{3}yz+lambda =0
F_{z}‘=x^{3}y^{2}+lambda =0
x+y+z=12
end{matrix} ight.$

求解上面的方程组可以得到唯一驻点（6，4，2），这样的话最大值$u_{max}=6^{3}cdot 4^{2}cdot 2=6912$。

二、行列式

1、二阶行列式

首先来看看二元线性方程组的求解：$left{egin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1} a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2}end{matrix} ight.$

对上面这个方程组求解可得：$egin{matrix}(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_{1}=b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2} (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_{2}=a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}end{matrix}$。

当$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} eq 0$时方程组有唯一解：$x_{1}=frac{b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}},x_{2}=frac{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$。

根据上面的解看起来好像有些规律呀

　　

表达式$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$即为二阶行列式。

$D=egin{vmatrix}a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22}end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$。其中a_ij(i=1,2;j=1,2)称为元素。i代表行标，j代表列标。

2、三阶行列式

二阶看起来挺容易就算出来了，三阶的呢？

　　

3、例题

计算$D=egin{vmatrix}1 & 2 & -4 -2 & 2 & 1 -3 & 4 & -2end{vmatrix}$的行列式。

　　

三、矩阵

1、何为矩阵

某航空公司在A，B，C，D四城市之间开辟了若干航线，如图所示表示了四城市间的航班图，如果从A到B有航班，则用带箭头的线连接 A 与B。

　　

如果说我们用表格的形式来表示这种关系并且用1和0来表示城市之间是否联通。

　　

何为矩阵：输入的数据就是矩阵，对数据做任何的操作都是矩阵的操作了。

　　

矩阵的组成：矩阵是由行和列来组成的：

　　

矩阵的特殊形式：行向量与列向量。$egin{pmatrix}a_{1} & a_{2} & cdots  & a_{n}end{pmatrix}$，$egin{pmatrix}a_{1} a_{2} vdots a_{n}end{pmatrix}$

2、行列式与矩阵的区别

　　

方阵：行和列的数量一样就是方阵了，一般叫做n阶方阵。

　　

下面介绍几种特殊的矩阵

　　

同型矩阵和矩阵相等是一个事吗？

两个矩阵行列数相同的时候称为同型矩阵，例如$egin{pmatrix}1 & 2 2 & 3end{pmatrix}$与$egin{pmatrix}2 & 4 1 & 2end{pmatrix}$

在同型的前提下，并且各个元素相等，这就是矩阵相等了：

　　

3、矩阵的基本运算

假如说有两个$M imes N$的矩阵$A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$：

　　

矩阵乘法的运算规律：

　　

注意：矩阵的乘法是没有交换律的