字符串的全排列

Posted 2020-07-15

题目描述

输入一个字符串，打印出该字符串中字符的所有排列。

例如输入字符串abc，则输出由字符a、b、c 所能排列出来的所有字符串

abc、acb、bac、bca、cab 和 cba。

分析与解法

解法一、递归实现

从集合中依次选出每一个元素，作为排列的第一个元素，然后对剩余的元素进行全排列，如此递归处理，从而得到所有元素的全排列。以对字符串abc进行全排列为例，我们可以这么做：以abc为例

• 固定a，求后面bc的排列：abc，acb，求好后，a和b交换，得到bac
• 固定b，求后面ac的排列：bac，bca，求好后，c放到第一位置，得到cba
• 固定c，求后面ba的排列：cba，cab。

void CalcAllPermutation(string str, string temp, vector<string> &res, int now, int size)
{
    if(now == size)
    {
        res.push_back(temp);
        return;
    }
    for(int i = now; i != size; ++i)
    {
        swap(str[now], str[i]);
        CalcAllPermutation(str, temp + str[now], res, now + 1, size);
        swap(str[now], str[i]);
    }
}

解法二、字典序排列

首先，咱们得清楚什么是字典序。根据维基百科的定义：给定两个偏序集A和B,(a,b)和(a′,b′)属于笛卡尔集 A × B，则字典序定义为

(a,b) ≤ (a′,b′) 当且仅当 a < a′ 或 (a = a′ 且 b ≤ b′)。

所以给定两个字符串，逐个字符比较，那么先出现较小字符的那个串字典顺序小，如果字符一直相等，较短的串字典顺序小。例如：abc < abcd < abde < afab。

那有没有这样的算法，使得

• 起点： 字典序最小的排列, 1-n , 例如12345
• 终点： 字典序最大的排列，n-1, 例如54321
• 过程： 从当前排列生成字典序刚好比它大的下一个排列

答案是肯定的：有，即是STL中的next_permutation算法。

在了解next_permutation算法是怎么一个过程之前，咱们得先来分析下“下一个排列”的性质。

• 假定现有字符串(A)x(B)，它的下一个排列是：(A)y(B’)，其中A、B和B’是“字符串”(可能为空），x和y是“字符”，前缀相同，都是A，且一定有y > x。
• 那么，为使下一个排列字典顺序尽可能小，必有：
  • A尽可能长
  • y尽可能小
  • B’里的字符按由小到大递增排列

现在的问题是：找到x和y。怎么找到呢？咱们来看一个例子。

比如说，现在我们要找21543的下一个排列，我们可以从左至右逐个扫描每个数，看哪个能增大（至于如何判定能增大，是根据如果一个数右面有比它大的数存在，那么这个数就能增大），我们可以看到最后一个能增大的数是：x = 1。

而1应该增大到多少？1能增大到它右面比它大的那一系列数中最小的那个数，即：y = 3，故此时21543的下一个排列应该变为23xxx，显然 xxx(对应之前的B’）应由小到大排，于是我们最终找到比“21543”大，但字典顺序尽量小的23145，找到的23145刚好比21543大。

由这个例子可以得出next_permutation算法流程为：

next_permutation算法

• 定义

  • 升序：相邻两个位置ai < ai+1，ai 称作该升序的首位

• 步骤（二找、一交换、一翻转）

  • 找到排列中最后（最右）一个升序的首位位置i，x = ai
  • 找到排列中第i位右边最后一个比ai 大的位置j，y = aj
  • 交换x，y
  • 把第(i+ 1)位到最后的部分翻转

还是拿上面的21543举例，那么，应用next_permutation算法的过程如下：

• x = 1；
• y = 3
• 1和3交换
  • 得23541
• 翻转541
  • 得23145

23145即为所求的21543的下一个排列。参考实现代码如下：

bool CalcAllPermutation(char* perm, int num){
    int i;

    //①找到排列中最后（最右）一个升序的首位位置i，x = ai
    for (i = num - 2; (i >= 0) && (perm[i] >= perm[i + 1]); --i){
        ;
    }
    // 已经找到所有排列
    if (i < 0){
        return false;
    }

    int k;
    //②找到排列中第i位右边最后一个比ai 大的位置j，y = aj
    for (k = num - 1; (k > i) && (perm[k] <= perm[i]); --k){
        ;
    }

    //③交换x，y
    swap(perm[i], perm[k]);
    //④把第(i+ 1)位到最后的部分翻转
    reverse(perm + i + 1, perm + num);
    return true;
}

 

然后在主函数里循环判断和调用calcAllPermutation函数输出全排列即可。

第二种解法的代码来自july.

解法总结

由于全排列总共有n!种排列情况，所以不论解法一中的递归方法，还是上述解法二的字典序排列方法，这两种方法的时间复杂度都为O(n!)。

类似问题

1、已知字符串里的字符是互不相同的，现在任意组合，比如ab，则输出aa，ab，ba，bb，编程按照字典序输出所有的组合。

分析：非简单的全排列问题（跟全排列的形式不同,abc全排列的话，只有6个不同的输出）。 本题可用递归的思想，设置一个变量表示已输出的个数，然后当个数达到字符串长度时，就输出。

void perm(string str, string temp, vector<string> &res, int now, int size)
{
    if(now == size)
    {
        res.push_back(temp);
        return;
    }
    for(int i = 0; i != size; ++i)
    {
        perm(str, temp + str[i], res, now + 1, size);
    }
}

2、如果不是求字符的所有排列，而是求字符的所有组合，应该怎么办呢？当输入的字符串中含有相同的字符串时，相同的字符交换位置是不同的排列，但是同一个组合。举个例子，如果输入abc，它的组合有a、b、c、ab、ac、bc、abc。

void combination(string str, string temp, vector<string> &res, int start, int require)
{
    if(temp.size() == require)
    {
        res.push_back(temp);
        return;
    }

    for(int i = start; i < str.size(); ++i)
    {
        combination(str, temp + str[i], res, i + 1, require);
    }
}

void solve_combination(string str, vector<string> &res)
{
    for(int i = 1; i <= str.size(); ++i)
    {
        combination(str, "", res, 0, i);
    }
}

 

3、写一个程序，打印出以下的序列。

(a),(b),(c),(d),(e)........(z)

(a,b),(a,c),(a,d),(a,e)......(a,z),(b,c),(b,d).....(b,z),(c,d).....(y,z)

(a,b,c),(a,b,d)....(a,b,z),(a,c,d)....(x,y,z)

....

(a,b,c,d,.....x,y,z)

void print_solve(string str, string s)
{
    cout << s << "(" << str << ")";
}

void combinationII(string str, string temp, vector<vector<string>> &res, int start, int require)
{
    if(temp.size() == require)
    {
        res[require - 1].push_back(temp);
        return;
    }

    for(int i = start; i < str.size(); ++i)
    {
        combinationII(str, temp + str[i], res, i + 1, require);
    }
}

void solve_combinationII()
{
    string str = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz";
    vector<vector<string>> ress;
    ress.resize(26);

    for(int i = 1; i <= str.size(); ++i)
    {
        combinationII(str, "", ress, 0, i);
    }

    for(int i = 0; i < ress.size(); ++i)
    {
        for(int j = 0; j < ress[i].size(); ++j)
        {
            if(j != 0)
            {
                print_solve(ress[i][j], ",");
            }
            else
            {
                print_solve(ress[i][j], "");
            }
        }
        cout << endl;
    }
}