01背包&完全背包

Posted 2020-11-30 s-gloria

·01背包&完全背包基础

 

01背包模型：给定n个物品，第i个物品体积为W_i，价值为V_i，背包容量为sum，选择一些物品放入背包，要求总价值最大。

F[i,j]表示前i个物品放入容量为j的包里获得的最大价值。

对于任意一个物品都有两种状态，要么放要么不放，不放的话很显然价值同前，放的话就要从包里拿出一部分体积。

完全背包模型：给定n种物品，第i个物品体积为W_i，价值为V_i，背包容量为sum，选择一些物品放入背包，要求总价值最大。

F[i,j]表示前i种物品放入容量为j的包里获得的最大价值。

01背包方程：f[i,j]=max(f[i-1,j],f[i-1,j-W_i]+V[i]) (if j>=W_i)

完全背包方程：f[i,j]=max(f[i,j],f[i-1,j-W_i]+V[i]) (if j>=W_i)

目标：max{f[N][j](0<=j<=sum)}

 

 

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 int n,sum;
 4 int f[100][11000];
 5 int w[1100],v[1100];
 6 int main()
 7 {
 8     cin>>n>>sum;
 9     for(int i=1;i<=n;i++)
10         cin>>w[i]>>v[i];
11     f[0][0]=0;
12     for(int i=1;i<=n;i++)
13         for(int j=0;j<=sum;j++)
14         {
15             if(j>=w[i])f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);
16             else f[i][j]=f[i-1][j];
17         }
18     cout<<f[n][sum];        
19     return 0;
20 } 

01背包普通二维

 

由于01背包中每一阶段的i状态只与上一阶段的i-1有关，于是就可以用滚动数组降低空间开销啦~

在所有f__的第一维里全部都加上&，使dp状态从f[0]_和f[1]_中交替。

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 int n,sum;
 4 int f[3][11000];
 5 int w[1100],v[1100];
 6 int main()
 7 {
 8     cin>>sum>>n;
 9     for(int i=1;i<=n;i++)
10         cin>>w[i]>>v[i];
11     f[0][0]=0;
12     for(int i=1;i<=n;i++)
13         for(int j=0;j<=sum;j++)
14         {
15             if(j>=w[i])f[i&1][j]=max(f[(i-1)&1][j],f[(i-1)&1][j-w[i]]+v[i]);
16             else f[i&1][j]=f[(i-1)&1][j];
17         }
18     cout<<f[n&1][sum];        
19     return 0;
20 } 

01背包之滚动数组

写到这里也很明确了，F数组的第一维完全可以省略，则F[j]表示背包中放入体积为j的物品的最大价值。

强调01背包的倒叙循环，完全背包的正序循环，因为01背包的转移是从i-1->i,而完全背包是i之间的转移。

循环到j时：

1.F数组后半段 f[j..m]处于第i个状态，已考虑过i

2.F前半段f[0...j-1]处于i-1个状态，未考虑过i

则j不断减小就意味着从i-1->i状态的转移。

 

（还可以初始化f为0，代表未放入物品时价值为0）

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 int n,sum;
 4 int f[11000];
 5 int w[1100],v[1100];
 6 int main()
 7 { 
 8     cin>>n>>sum;
 9     for(int i=1;i<=n;i++)
10         cin>>w[i]>>v[i];
11     for(int i=1;i<=n;i++)
12         for(int j=sum;j>=w[i];j--)        
13             f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);        
14     cout<<f[sum];
15     return 0;
16 }

01背包

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 int n,sum;
 4 int f[11000];
 5 int w[1100],v[1100];
 6 int main()
 7 { 
 8     cin>>n>>sum;
 9     for(int i=1;i<=n;i++)
10         cin>>w[i]>>v[i];
11     for(int i=1;i<=n;i++)
12         for(int j=w[i];j<=sum;j++)        
13             f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);        
14     cout<<f[sum];
15     return 0;
16 }

完全背包

---

 

·01背包应用

栗1：给定n个正整数，从中选出若干个使它们和为sum，求方案数。

f[j]表示和为j的方案数有多少

 1 #include<iostream>
 2 #define MAXN 1100
 3 using namespace std;
 4 int f[MAXN],a[MAXN];
 5 int main()
 6 {
 7     int n,sum;
 8     cin>>n>>sum;
 9     for(int i=1;i<=n;i++)
10         cin>>a[i];
11     f[0]=1;
12     for(int i=1;i<=n;i++)
13         for(int j=sum;j>=a[i];j--)
14             f[j]+=f[j-a[i]];
15     cout<<f[sum];    
16 }

数字组合

栗2：给定n个物品，体积是Vi，质量为Wi,价值为Ki，给定体积为SUM，负载量为M的背包，在体积载量允许的情况下求最大价值。

还是简单的01背包，不过是体积多个维度而已；

 

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 int v[51],w[51],k[51],f[401][401];
 4 int main()
 5 {   int n,sum,m;
 6     cin>>n>>sum>>m;
 7     for(int i=1;i<=n;i++)
 8         cin>>v[i]>>w[i]>>k[i];
 9     for(int i=1;i<=n;i++)
10         for(int j=sum;j>=v[i];j--)
11             for(int l=m;l>=w[i];l--)
12                 f[j][l]=max(f[j][l],f[j-w[i]][l-w[i]]+k[i]);
13     cout<<f[sum][m];
14     return 0;
15 }

多维01背包

 

 

 

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·完全背包应用

给定自然数n，把n拆分成几个正整数相加的形式，数可以重复使用，求方案数。

相当于n个物体，体积分别是1,2,3..n，背包容量为n，每个物品可重复使用，用板子就好了，求和类似于上面数字组合。

 

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 int f[1100];
 4 int main()
 5 {
 6     int n;
 7     cin>>n;
 8     f[0]=1;
 9     for(int i=1;i<=n;i++)
10         for(int j=1;j<=n;j++)
11             f[j]=f[j]+f[j-1];
12     cout<<f[n];
13 }

自然数拆分