P5643 [PKUWC2018]随机游走 min-max容斥+FWT

Posted 2020-11-28 wljss

直接求不好求，我们考虑 (min-max) 容斥:(displaystyle E(max(S))=sum_{T subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(min(T)))

其中 (S) 为到达相应的花费时间的集合， (max(S)) 为到过所有点的时间， (min(S)) 为到过一个点的时间。

然后就变成了给定一个集合 (S) ，求 (min(S)) .

我们考虑 (DP) ，设 (f[i]) 为从 (i) 点开始，到过 (S) 中一个点的期望时间。

若 (i in S) ,则 (f[i]=0)

否则 (displaystyle f[i]=frac{f[Fa[i]]+sum f[son]}{du[i]}+1)

这时我们可以暴力高斯消元了，但这里有个小技巧：树上路径期望问题可以把每个节点的 (dp) 值表示 (a imes f[Fa[i]] + b)的形式

然后就可以化简一下式子。

(displaystyle f[i]=frac{f[Fa[i]]+sum f[son]}{du[i]}+1)

(displaystyle f[i]=frac{f[Fa[i]]+suma imes f[i]+sumb}{du[i]}+1)

其中 (displaystyle suma=sum a[son] spacespacespacespacespacespace sumb=sum b[son])

(displaystyle (du[i]-suma)f[i]=f[Fa[i]]+sumb+du[i])

(displaystyle f[i]=frac{1}{du[i]-suma}f[Fa[i]]+frac{sumb+du[i]}{du[i]-suma})

对比 (a imes f[Fa[i]] + b)
可得
(displaystyle a[i]=frac{1}{du[i]-suma})和(displaystyle b[i]=frac{sumb+du[i]}{du[i]-suma})

我们就求得了(E(min(T))),用 (FWT) 快速求子集和即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
int n, q, root, all, x, y, tot, k, s;
const int N = 19, mod = 998244353;
int head[N], to[N << 1], nt[N << 1], du[N], A[N], B[N], f[1 << 18 | 1];
void add(int f, int t)
{
	to[++tot] = t; nt[tot] = head[f]; head[f] = tot;
}
LL ksm(LL a, LL b, LL mod)
{
	LL res = 1; a %= mod;
	for (; b; b >>= 1, a = a * a % mod)
		if (b & 1)res = res * a % mod;
	return res;
}
void dfs(int x, int fa, int s)
{
	if (s & (1 << (x - 1)))return;
	int sumA = 0, sumB = 0;
	for (int i = head[x]; i; i = nt[i])
		if (to[i] != fa)
		{
			dfs(to[i], x, s);
			(sumA += A[to[i]]) %= mod;
			(sumB += B[to[i]]) %= mod;
		}
	int inv = ksm(du[x] - sumA, mod - 2, mod);
	A[x] = inv; B[x] = (LL)inv * (sumB + du[x]) % mod;
}
int pan(int x)
{
	int res = 0;
	while (x)res += (x & 1), x >>= 1;
	return res & 1 ? 1 : -1;
}
int main()
{
	cin >> n >> q >> root; all = 1 << n;
	for (int i = 1; i < n; ++i)
	{
		scanf("%d%d", &x, &y);
		add(x, y); add(y, x); ++du[x]; ++du[y];
	}
	for (int s = 1; s < all; ++s)
	{
		for (int i = 1; i <= n; ++i)A[i] = B[i] = 0;
		dfs(root, 0, s);
		f[s] = (pan(s) * B[root] + mod) % mod;
	}
	for (int mid = 1; mid < all; mid <<= 1)
		for (int j = 0, len = mid << 1; j < all; j += len)
			for (int k = j; k < j + mid; ++k)
				(f[k + mid] += f[k]) %= mod;
	while (q--)
	{
		scanf("%d", &k); s = 0;
		for (int i = 1; i <= k; ++i)scanf("%d", &x), s |= 1 << (x - 1);
		printf("%d
", f[s]);
	}
}