loj#2542. 「PKUWC2018」随机游走（树形dp+Min-Max容斥）

Posted 2021-01-31 bztminamoto

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首先，关于(Min-Max)容斥

设(S)为一个点的集合，每个点的权值为走到这个点的期望时间，则(Max(S))即为走遍这个集合所有点的期望时间，(Min(S))即为第一次走到这个集合的期望时间，题目所求为(Max(S))很难算于是转化为求(Min(S))

设(f_u)为点从点(u)开始游走第一次到达(S)的期望时间，那么有[f_u=1+sum_{(u,vin E)}frac{f_v}{deg_v}]
如果(uin S)，那么(f_u=0)

如果用高斯消元的话太慢了。据大佬们说，树上的期望(dp)都可以转化为(f_u=k_uf_{fa_u}+b_u)的形式（好像全世界只有我不知道为什么），如果(uin S)，则(k_u=b_u=0)，否则的话，把每一个(f_v(v eq fa_u))用(k_vf_u+b_v)的形式表示，然后移项，就能得到(k_u)和(b_u)了。最后根节点的(b)即为从根节点第一次到集合(S)的期望时间

算出来之后直接枚举子集转移即可

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
void print(R int x){
    if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='
';
}
const int N=(1<<18)+5,P=998244353;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
    R int res=1;
    for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
    return res;
}
struct node{
    int k,b;
    node(){}
    node(R int k,R int b):k(k),b(b){}
    node operator +(const node &c)const{return node(add(k,c.k),add(b,c.b));}
    node operator *(const int &c)const{return node(mul(k,c),mul(b,c));}
}f[19][N];
struct eg{int v,nx;}e[55];int head[55],tot;
inline void add_edge(R int u,R int v){e[++tot]={v,head[u]},head[u]=tot;}
int deg[55],inv[55],mn[N],sz[N];
int n,q,rt,u,v,lim,k,x,sum;
node dfs(int u,int fa,int S){
    if(S&(1<<u-1))return node{0,0};
    node now(0,0);
    go(u)if(v!=fa)now=now+dfs(v,u,S)*inv[deg[u]];
    int Inv=ksm(dec(1,now.k),P-2);
    return node(mul(Inv,inv[deg[u]]),mul(Inv,add(now.b,1)));
}
int main(){
//  freopen("testdata.in","r",stdin);
    n=read(),q=read(),rt=read(),lim=(1<<n);
    inv[0]=inv[1]=1;fp(i,2,25)inv[i]=1ll*inv[P%i]*(P-P/i)%P;
    fp(i,1,n-1)u=read(),v=read(),add_edge(u,v),add_edge(v,u),++deg[u],++deg[v];
    fp(i,1,lim-1)sz[i]=sz[i>>1]+(i&1);
    fp(i,1,lim-1){
        node res=dfs(rt,0,i);
        mn[i]=sz[i]&1?res.b:P-res.b;
    }fp(i,0,n-1)fp(j,0,lim-1)if(j&(1<<i))mn[j]=add(mn[j],mn[j^(1<<i)]);
    while(q--){
        k=read(),sum=0;
        while(k--)x=read(),sum|=1<<(x-1);
        print(mn[sum]);
    }return Ot(),0;
}