loj 2542 随机游走 —— 最值反演+树上期望DP+fmt

Posted 2021-02-03 zinn

题目：https://loj.ac/problem/2542

因为走到所有点的期望就是所有点期望的最大值，所以先最值反演一下，问题变成从根走到一个点集任意一点就停止的期望值；

设 ( f[x] )，则 ( f[x] = frac{f[fa]+1+sumlimits_{v in son} (f[v]+1)}{d[x]} )，其中 ( d[x] ) 是 ( x ) 的度数；

因为其实只和 ( fa ) 有关，所以套路是设 ( f[x] = K[x] * f[fa] + B[x] )，推一推就可以树形DP求 ( K[x] , B[x] )，这好像叫“树上高斯消元”？！

因为走到集合内任意一个点就停止，所以 ( K[x] = B[x] = 0 ( x in S ) )，( f[rt] ) 即 ( B[rt] ) 就是答案；

然后高维前缀和求子集的 ( f ) 和，注意最值反演的符号要一开始就带上。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int rd()
{
  int ret=0,f=1; char ch=getchar();
  while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=0; ch=getchar();}
  while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)ret=ret*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
  return f?ret:-ret;
}
int const xn=20,xm=(1<<18)+5,mod=998244353;
int n,rt,sid[xn][xn],bin[xn],cnt[xm],K[xn],B[xn],d[xn],f[xm];
ll pw(ll a,int b){a%=mod; ll ret=1; for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)if(b&1)ret=ret*a%mod; return ret;}
int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod; while(x<0)x+=mod; return x;}
void dfs(int x,int fa,int s)
{
  if(s&bin[x-1]){K[x]=B[x]=0; return;}
  int ks=0,bs=0;
  for(int u=1;u<=n;u++)
    if(sid[x][u]&&u!=fa)
      dfs(u,x,s),ks=upt(ks+K[u]),bs=upt(bs+B[u]);
  K[x]=pw(d[x]-ks,mod-2); B[x]=(ll)(bs+d[x])*pw(d[x]-ks,mod-2)%mod;
}
int main()
{
  n=rd(); int Q=rd(); rt=rd();
  for(int i=1,x,y;i<n;i++)x=rd(),y=rd(),sid[x][y]=sid[y][x]=1,d[x]++,d[y]++;
  bin[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++)bin[i]=(bin[i-1]<<1);
  for(int s=1;s<bin[n];s++)cnt[s]=cnt[s>>1]+(s&1);
  for(int s=1;s<bin[n];s++)
    {
      memset(K,0,sizeof K); memset(B,0,sizeof B);
      dfs(rt,0,s); f[s]=upt(((cnt[s]&1)?1:-1)*B[rt]);//
    }
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int s=0;s<bin[n];s++)
      if(s&bin[i-1])f[s]=upt(f[s]+f[s^bin[i-1]]);
  for(int i=1,k,s;i<=Q;i++)
    {
      k=rd(); s=0;
      for(int j=1,x;j<=k;j++)x=rd(),s|=bin[x-1];
      printf("%d
",f[s]);
    }
  return 0;
}