Loj #2542. 「PKUWC2018」随机游走

Posted 2021-10-22 hchhch233

Loj #2542. 「PKUWC2018」随机游走

题目描述

给定一棵 \\(n\\) 个结点的树，你从点 \\(x\\) 出发，每次等概率随机选择一条与所在点相邻的边走过去。

有 \\(Q\\) 次询问，每次询问给定一个集合 \\(S\\)，求如果从 \\(x\\) 出发一直随机游走，直到点集 \\(S\\) 中所有点都至少经过一次的话，期望游走几步。

特别地，点 \\(x\\)（即起点）视为一开始就被经过了一次。

答案对 $998244353 $ 取模。

输入格式

第一行三个正整数 \\(n,Q,x\\)。

接下来 \\(n-1\\) 行，每行两个正整数 \\((u,v)\\) 描述一条树边。

接下来 \\(Q\\) 行，每行第一个数 \\(k\\) 表示集合大小，接下来 \\(k\\) 个互不相同的数表示集合 \\(S\\)。

输出格式

输出 \\(Q\\) 行，每行一个非负整数表示答案。

数据范围与提示

对于 \\(20\\%\\) 的数据，有 \\(1\\leq n,Q\\leq 5\\)。

另有 \\(10\\%\\) 的数据，满足给定的树是一条链。

另有 \\(10\\%\\) 的数据，满足对于所有询问有 \\(k=1\\)。

另有 \\(30\\%\\) 的数据，满足 \\(1\\leq n\\leq 10 ,Q=1\\)。

对于 \\(100\\%\\) 的数据，有 \\(1\\leq n\\leq 18\\)，\\(1\\leq Q\\leq 5000\\)，\\(1\\leq k\\leq n\\)。

Orz

首先根据\\(\\min-\\max\\) 反演我们知道：
\\[ \\max(S)=\\sum_{T\\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\\min(T) \\]
设\\(f_{v,S}\\)表示从\\(v\\)出发，经过\\(S\\)中至少一个节点的期望步数。

如果\\(v\\in S\\)，\\(f_{v,S}=0\\)，否则：
\\[ f_v=1+\\frac{1}{d_v}f_{fa}+\\frac{1}{d_v}\\sum f(u)\\\\]
然后这是颗树，我们可以将\\(DP\\)方程移项变成只与\\(fa\\)的\\(f\\)值个一个常数有关。

设：
\\[ f(v)=A_v*f_{fa}+B_v\\\\]
带回去化简：
\\[ f_v=1+\\frac{1}{d_v}f_{fa}+\\frac{1}{d_v}\\sum (A_u*f_v+B_u)\\(d_v-\\sum A_u)*f_v=d_v+f_{fa}+\\sum B_u\\f_v=\\frac{1}{d_v-\\sum A_u}*f_{fa}+\\frac{d_v+\\sum B_u}{d_v-\\sum A_u} \\]
得到：
\\[ A_v=\\frac{1}{d_v-\\sum A_u},B_v=\\frac{d_v+\\sum B_u}{d_v-\\sum A_u} \\]
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 19

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

const ll mod=998244353;
ll ksm(ll t,ll x) {
    ll ans=1;
    for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
        if(x&1) ans=ans*t%mod;
    return ans;
}

int n;
int X,m;
struct road {int to,nxt;}s[N<<1];
int h[N],cnt;
void add(int i,int j) {s[++cnt]=(road) {j,h[i]};h[i]=cnt;}

ll w[N];
int d[N];
ll A[N],B[N],f[N];
int tag[N];

void dfs(int v,int fa) {
    A[v]=B[v]=0;
    ll sumA=0,sumB=0;
    for(int i=h[v];i;i=s[i].nxt) {
        int to=s[i].to;
        if(to==fa) continue ;
        dfs(to,v);
        sumA=(sumA+A[to])%mod;
        sumB=(sumB+B[to])%mod;
    }
    if(tag[v]) A[v]=B[v]=0;
    else A[v]=ksm(d[v]-sumA+mod,mod-2),B[v]=(d[v]+sumB)*ksm(d[v]-sumA+mod,mod-2)%mod;
}

void dfs2(int v,int fa) {
    f[v]=(A[v]*f[fa]+B[v])%mod;
    for(int i=h[v];i;i=s[i].nxt) {
        int to=s[i].to;
        if(to==fa) continue ;
        dfs2(to,v);
    }
}
int mn[1<<N];
int main() {
    n=Get(),m=Get(),X=Get();
    int a,b;
    for(int i=1;i<n;i++) {
        a=Get(),b=Get();
        add(a,b),add(b,a);
        d[a]++,d[b]++;
    }
    for(int S=1;S<1<<n;S++) {
        for(int i=1;i<=n;i++) if(S>>i-1&1) tag[i]=1;
        dfs(1,0),dfs2(1,0);
        mn[S]=f[X];
        for(int i=1;i<=n;i++) if(S>>i-1&1) tag[i]=0;
    }
    for(int S=1;S<1<<n;S++) {
        int cnt=0;
        for(int i=0;i<n;i++) cnt+=S>>i&1;
        if(!(cnt&1)) mn[S]=(mod-mn[S])%mod;
    }
    for(int i=0;i<n;i++) {
        for(int S=1;S<1<<n;S++) {
            if(S>>i&1) mn[S]=(mn[S]+mn[S^(1<<i)]+mod)%mod;
        }
    }
    while(m--) {
        int k=Get();
        int sta=0;
        while(k--) sta|=1<<Get()-1;
        cout<<mn[sta]<<"\\n";
    }
    return 0;
}