CF526G Spiders Evil Plan

Posted 2020-11-27 frame233

(color{#000000}{ exttt {CF526G}})

先考虑单次询问。
发现 (y) 条路径的端点一定是叶子节点，产生的联通块最多会有 (2y) 个叶子。
但还是不好做。

考虑一个相似的问题
一棵有根树，选 (k) 个点，最大化这 (k) 个点到根节点路径的并的大小。

选的点肯定是叶子。
如果 (k geq) 叶子个数，答案肯定是 (n) 。
否则定义一个点的贡献为 (V_i) 为 (i) 到根节点上没被经过的点的个数。
每次选 (V_i) 最大的肯定最优。
性质：每个点一定在其长链顶端的父亲所在长链底端的点被选后被选。
那么 (V_i=dep_i-dep_{fa_{top_i}})，直接贪心。

如果有多次询问，考虑优化上述做法的复杂度。
有一个性质，直径的一个端点端点一定会被选中。
不妨以直径端点为根，那么还要选 (2y-1) 个叶子。
预处理下即可。

考虑原问题。
若直接用上述做法，可能 (x) 不在联通块内。
有两种策略进行调整

1. 删除第 (2y-1) 个点，加入 (x) 的子树内 (V_i) 最大的点。
2. 找到 (x) 的祖先中离 (x) 最近的被覆盖的点，删除它子树中被选的一个叶子，加入 (x) 的子树内 (V_i) 最大的点。

发现 (2) 策略不是很好维护。
但是如果 (2) 策略比 (1) 策略优，那么 (x) 的祖先中离 (x) 最近的被覆盖的点的子树中只能有 (1) 个被选中的点。
倍增往上跳即可。
复杂度 (O((n+q)log n))