01背包问题中二维数组大小为dp[n][w]还是dp[n+1][w+1]的问题

Posted 2020-11-27 cooperxia-847550730

关于dp数组大小，边界，循环上线，因为这几个值在代码化的时候是有关联的，一开始会觉得有点不清不楚的，但是这个问题本身只要理清楚一次就不会再有问题了。

两种方式都是可以的，这里建议使用dp[n+1][w+1]的方式建立数组，

有以下几个好处：

1.动态的数值不用加一减一（dp数组）

2.循环上限直接采用限制条件n和w就可以了，循环开始更符合现实含义

 

众所周知01背包问题由以下部分构成：

n选择的数量，01背包中为物品的数量，

w开销限制，01背包中为背包大小，

g数组，每个选择的价值，

p数组，每个选择的开销。

dp[n][w]表示在n个选择的情况和w个开销限制的情况下，最优解。

动态转移方程为dp[n][w]=max(dp[n-1][w],dp[n-1][w-p[i]]+g[i])，表示dp[n][w]的最优解，为不选择ni时候的最优解，和选择ni时候的最优解中的较优解组成。i表示有没有第i个选择。

 

dp[n+1][w+1]演示：

public static int[][] getMostGold2(int n, int w ,int[] g,int[] p){
    int[][] dp = new int[n+1][w+1];

//        for (int j = 0; j <=w; j++) {
//            dp[0][j]=0;
//        }

    for (int i = 1; i <=n; i++) {
        for (int j = 1; j <=w ; j++) {
            if(j>=p[i-1])
                dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-p[i-1]]+g[i-1]);
            else
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
        }
    }
    return  dp;

固定边界的时候，不需要额外固定，因为java中数组初始为0，循环i和j都从1开始，更符合现实，从一个选择和一个限制开始，为0其实没有实际意义。

因为数组长度是n+1和w+1，所以循环上线直接n和w。循环中涉及到的p[i]和g[i]都要-1，i是实际的i，比数组p和g中的大1。

输出整个结果的时候i和j也都是从1开始，dp[i+1][j+1]是最优解。

 

 

dp[n][w]演示：

public static int[][] getMostGold2(int n, int w ,int[] g,int[] p){
        int[][] dp = new int[n][w];
        for (int j = 0; j <w; j++) {
            if(j+1>=p[0])
                dp[0][j]=g[0];
            else
                dp[0][j]=0;
        }
        for (int i = 1; i <n; i++) {
            for (int j = 0; j < w; j++) {
                if (j +1 >= p[i] && (j - p[i])>=0) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - p[i]] + g[i]);
                }
                else
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
        return  dp;
    }

dp[n][w]的实现就会麻烦一些，首先需要计算边界，即为第一行，有一个选择的时候，没有边界不会终止。

而且因为j+1才是实际上j表达的数量现实，所以和p[i]比较的时候要+1，并且还要保持(j - p[i])>=0)，不然j+1=p[i]的时候，dp[i-1][-1]的情况，这个是最麻烦的！！

 

其他一些情况dp[n][w+1]和dp[n+1][w]就不演示了，逗比dp[n][w]好，但是没有dp[n+1][w+1]明朗！

n+1和n的区别就在于是否需要首先计算边界，w和w+1实际意义上转换比较绕，建议不要用w，尽量用w+1，这样第一列为空，后面的列号和实际限制数量数值上是一致的，便于理解！