[题解] LuoguP4091 [HEOI2016/TJOI2016]求和

Posted 2020-11-25 wxq1229

传送门

首先我们来看一下怎么求(S(m,n))。

注意到第二类斯特林数的组合意义就是将(m)个不同的物品放到(n)个没有区别的盒子里，不允许有空盒子的方案数。

那么将(m)个不同的物品随便扔到(n)个盒子里的方案数就是(n^m)，这里盒子也有区别了。

那么枚举有多少盒子有物品，然后斯特林数安排一下，注意到这是的盒子是没有区别的，再排列就好了，即
[ n^m=sumlimits_{i=0}^n inom{n}{i}S(m,i)i! ]
但我们要求的是(S)，这里又有组合数，直接二项式反演，，得到
[ n! imes S(m,n)=sumlimits_{i=0}^n (-1)^{n-i}inom{n}{i}i^m ]
所以
[ S(m,n) = frac{1}{n!}sumlimits_{i=0}^n (-1)^{n-i} inom{n}{i} i^m ]

然后再来看题目里的柿子：
[ sumlimits_{i=0}^nsumlimits_{j=0}^i S(i,j) imes 2^j imes (j!) ]
我也不知道它为什么长成这样...

由于(j>i)时(S(i,j)=0)，所以(j)完全可以到(n)，然后再吧(S(i,j))换成上面的求和形式
[ sumlimits_{i=0}^nsumlimits_{j=0}^n 2^j sumlimits_{k=0}^j (-1)^{j-k}inom{j}{k} k^i ]

[ = sumlimits_{j=0}^n 2^j sumlimits_{k=0}^j (-1)^{j-k}inom{j}{k} sumlimits_{i=0}^n k^i ]

[ = sumlimits_{j=0}^n 2^j sumlimits_{k=0}^j (-1)^{j-k}frac{j!}{k!(j-k)!} sumlimits_{i=0}^n k^i ]

[ = sumlimits_{j=0}^n 2^j imes (j!) sumlimits_{k=0}^j frac{(-1)^{j-k}}{(j-k)!} imes (k!sumlimits_{i=0}^n k^i) ]

后面已经是一个卷积的形式了，具体的，令
[ f_i = frac{(-1)^i}{i!} ]

[ g_i = i!sumlimits_{k=0}^n i^k = i! imes frac{(i^{k+1}-1)}{i-1} ]

需要特判(g_1=n+1)，把(f,g)卷起来求和就好了

(Code:)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e5+10,P=998244353;
inline int fpow(int x,int y,int mod=P)
{
    int ret=1; for(x%=mod;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod)
        if(y&1) ret=1ll*ret*x%P;
    return ret;
}
const int gen=3,igen=fpow(gen,P-2);
inline int add(int x,int y,int mod=P){return (x+=y)>=mod?x-mod:x;}
inline int sub(int x,int y,int mod=P){return (x-=y)<0?x+mod:x;}
inline int normal(int x,int mod=P){return x<0?x+mod:x;}
namespace Poly
{
    int rev[N];
    void init(int n)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
            rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?n>>1:0);
    }
    void ntt(int *f,int n,int flg)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
            if(rev[i]<i) swap(f[i],f[rev[i]]);
        for(int len=2,k=1;len<=n;len<<=1,k<<=1)
        {
            int wn=fpow(flg==1?gen:igen,(P-1)/len);
            for(int i=0;i<n;i+=len)
                for(int j=i,w=1;j<i+k;j++,w=1ll*w*wn%P)
                {
                    int tmp=1ll*f[j+k]*w%P;
                    f[j+k]=sub(f[j],tmp),f[j]=add(f[j],tmp);
                }
        }
        if(flg==-1)
        {
            int inv=fpow(n,P-2);
            for(int i=0;i<n;i++) f[i]=1ll*f[i]*inv%P;
        }
    }
}
using Poly::ntt;
int f[N],g[N],n;
int pw2[N],inv[N],ifac[N],fac[N];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    inv[1]=ifac[0]=ifac[1]=1;
    pw2[0]=1,pw2[1]=2; fac[0]=fac[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        inv[i]=1ll*inv[P%i]*(P-P/i)%P;
        ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*inv[i]%P;
        pw2[i]=2ll*pw2[i-1]%P;
        fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%P;
    }
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        f[i]=1ll*((i&1)?P-1:1)*ifac[i]%P;
        if(i==1) g[i]=n+1;
        else g[i]=1ll*sub(fpow(i,n+1),1)*ifac[i]%P*fpow(i-1,P-2)%P;
    }
    int limit=1; while(limit<=n*2)limit<<=1;
    Poly::init(limit);
    ntt(f,limit,1),ntt(g,limit,1);
    for(int i=0;i<limit;i++) f[i]=1ll*f[i]*g[i]%P;
    ntt(f,limit,-1);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=n;i++) ans=add(ans,1ll*pw2[i]*fac[i]%P*f[i]%P);
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}