无向图

术语表

图

定义：图是由一组顶点和一组能够将两个顶点相连的边组成的。
特殊的图：

• 自环：即一条连接一个顶点和其自身的边。
• 连接同一对顶点的两条边称为平行边。

数学家常常将含有平行边的图称为多重图，将没有平行边或自环的图称为简单图。

路径和环

定义：在图中，路径是由边顺序连接的一系列顶点。简单路径是一条没有重复顶点的路径。环是一条至少含有一条边且起点和终点相同的路径。简单环是一条（除了起点和终点必须相同之外）不含有重复顶点和边的环。路径或者环的长度为其中所包含的边数。
大多数情况下省略掉简单二字。

连通图

定义：如果从任意一个顶点都存在一条路径到达另一个任意顶点，我们称这幅图是连通图。一幅非连通的图由若干连通的部分组成，它们都是其极大连通子图。

树

定义：树是一幅无环连通图。互不相连的树组成的集合称为森林。连通图的生成树是它的一幅子图，它含有图中的所有顶点且是一棵树。图的生成树森林是它的所有连通子图的生成树的集合。
当且仅当一幅含有V个结点的图G满足下列5个条件之一时，它就是一棵树：

• G有V-1条边且不含有环
• G有V-1条边且是连通的
• G是连通的，但删除任意一条边都会使它不再连通
• G是无环图，但添加任意一条边都会产生一条环
• G中的任意一对顶点之间仅存在一条简单路径

无向图API

public class Graph
Graph(int V)	创建一个含有V个顶点但不含有边的图
Graph(In in)	从标准输入流in读入一幅图
int V()	顶点数
int E()	边数
void addEdge(int v,int w)	向图中添加一条边v-w
Iterable adj(int v)	和v相邻的所有顶点
String toString()	对象的字符串表示

常用图处理代码

无向图的表示

一般来说有三种表示方法：

• 邻接矩阵：我们可以使用一个V*V的布尔矩阵。定义v行w列的元素为true当且仅当顶点v和顶点w之间有相连的边。
• 边的数组：使用Edge类，含有两个int变量表示两个顶点，但是实现adj()方法需要检查图中所有的边。
• 邻接表数组：使用以顶点为索引的列表数组。其中每个元素都是和该顶点相邻的顶点列表。

我们在选择的时候，实现图的API包含两个要求：

1. 它必须为可能在应用中碰到的各种类型的图预留出足够的空间。
2. Graph的实例方法的实现一定要快。

显然，邻接表数组满足以上两个条件。

邻接表的数据结构

无向图的实现

public class Graph{
    private final int V;  //顶点数目
    private int E;  //边的数目
    private Bag<Integer>[] adj;  //邻接表
    public Graph(int V){
        this.V=V;
        this.E=0;
        adj=(Bag<Integer>[]) new Bag[V];  //创建邻接表
        for(int v=0;v<V;v++){  //将所有链表初始化为空
            adj[v]=new Bag<Integer>();
        }
    }
    public Graph(In in){
        this(in.readInt());  //读取V并将图初始化
        int E=in.readInt();  //读取E
        for(int i=0;i<E;i++){
            // 添加一条边
            int v=in.readInt();  //读取一个顶点
            int w=in.readInt();  //读取另一个顶点
            addEdge(v,w);  //添加一条连接它们的值
        }
    }
    public int V(){return V;}
    public int E(){return E;}
    public void addEdge(int v,int w){
        adj[v].add(w);  //将w添加到v的链表中
        adj[w].add(v);  //将v添加到w的链表中
        E++;
    }
    public Iterable<Integer> adj(int v){
        return adj[v];
    }
}

性能分析

数据结构	所需空间	添加一条边v-w	检查w和v是否相邻	遍历v的所有相邻顶点
边的列表	E	1	E	E
邻接矩阵	V^2	1	1	V
邻接表	E+V	1	degree(v)	degree(v)
邻接集	E+V	logV	logV	logV+degree(v)