用到了卡特兰数的性质，还有高精度压位，筛法找素数

Posted 2020-11-25 arbor-one

一列火车n节车厢，依次编号为1,2,3,…,n。

每节车厢有两种运动方式，进栈与出栈，问n节车厢出栈的可能排列方式有多少种。

输入格式
输入一个整数n，代表火车的车厢数。

输出格式
输出一个整数s表示n节车厢出栈的可能排列方式数量。

数据范围
1≤n≤60000
输入样例：
3
输出样例：
5

这道题的本质是卡特兰数

卡特兰数介绍（引用math73）

筛法求素数

最重要的是如何求解组合数，压位思想，还有组合数C(2n)(n)这个式子展开以后，用上下同时除以连续的质数的方法，将答案一点一点凑出来，而不是每次都是很长的数去除以一个数，这样降低了运行的时间。

    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    #include<vector>
    using namespace std;
    const int N=120010;
    int powers[N];//每个质数的次数
    int primes[N],cnt;/质数表2~2*n内的质数
    bool st[N];//用来储存这个数是不是质数
    typedef long long ll;
    void get_primes(int n)//筛法判断是不是质数
    {
        for(int i=2;i<=n;i++)
        if(!st[i])
        {
            primes[cnt++]=i;
            for(int j=i*2;j<=n;j+=i)
            st[j]=true;
        }
    }
    int get(int n,int p)//n的阶乘里有多少个因子p
    {
        ll s=0;
        while(n)
        {
            s+=n/p;
            n/=p;
        }
        return s;
    }
    void multi(vector<ll>&a,int b)//压位高精度运算
    {
        int t=0;
        for(int i=0;i<a.size();i++)
        {
            a[i]=a[i]*b+t;
            t=a[i]/100000000;
            a[i]%=100000000;
        }
        while(t)
        {
            a.push_back(t%100000000);
            t/=100000000;
        }
    }
    void out(vector<ll >&a)//输出
    {
        printf("%lld",a.back());
        for(int i=a.size()-2;i>=0;i--)
        printf("%08lld",a[i]);
        cout<<endl;
    }
    
    int main()
    {
        int n;
        cin>>n;
        get_primes(n*2);
        for(int i=0;i<cnt;i++)//分别求一下质数的次数
        {
            int p=primes[i];
            powers[p]=get(n*2,p)-get(n,p)*2;//(C2n n)是2n的阶乘除以（n的阶乘*n的阶乘）,所以乘2
        }
        int k=n+1;//分解质因数
        for(int i=0;i<cnt&&primes[i]<=k;i++)
        {
            int p=primes[i],s=0;
            while(k%p==0)
            {
                s++;
                k/=p;
            }
            powers[p]-=s;
        }
        vector<ll>res;
        res.push_back(1);
            for(int i=2;i<=n*2;i++)
               for(int j=0;j<powers[i];j++)
                multi(res,i);
               out(res);
              return 0;
            
        }
    
    
    
    
    这个代码又是yxc大佬的源代码基础上写的注释，我还是太菜了。QAQ