网络最大流——EK算法详解

Posted 2020-09-20

原文  http://blog.csdn.net/a1dark/article/details/11177907

 

EdmondsKarp算法，简称EK算法，O(m^2n)

   因为是初学教程，所以我会尽量避免繁杂的数学公式和证明。也尽量给出了较为完整的代码。
本文的目标群体是网络流的初学者，尤其是看了各种NB的教程也没看懂怎么求最大流的小盆友们。本文的目的是，解释基本的网络流模型，最基础的最大流求法，即bfs找增广路法，也就是EK法，全名是Edmond-Karp，其实我倒是觉得记一下算法的全名和来历可以不时的拿出来装一装。 
    比如说这个，EK算法首先由俄罗斯科学家Dinic在1970年提出，没错，就是dinic算法的创始人，实际上他提出的也正是dinic算法，在EK的基础上加入了层次优化，这个我们以后再说，1972年Jack Edmonds和Richard Karp发表了没有层次优化的EK算法。但实际上他们是比1790年更早的时候就独立弄出来了。 
    你看，研究一下历史也是很有趣的。 
    扯远了，首先来看一下基本的网络流最大流模型。 
    有n个点，有m条有向边，有一个点很特殊，只出不进，叫做源点，通常规定为1号点。另一个点也很特殊，只进不出，叫做汇点，通常规定为n号点。每条有向边上有两个量，容量和流量，从i到j的容量通常用c[I,j]表示,流量则通常是f[I,j]。通常可以把这些边想象成道路，流量就是这条道路的车流量，容量就是道路可承受的最大的车流量。很显然的，流量<=容量。而对于每个不是源点和汇点的点来说，可以类比的想象成没有存储功能的货物的中转站，所有”进入”他们的流量和等于所有从他本身”出去”的流量。 
    把源点比作工厂的话，问题就是求从工厂最大可以发出多少货物，是不至于超过道路的容量限制，也就是，最大流。 
    比如这个图。每条边旁边的数字表示它的容量。 
    

   下面我们来考虑如何求最大流。

    首先，假如所有边上的流量都没有超过容量(不大于容量)，那么就把这一组流量，或者说，这个流，称为一个可行流。一个最简单的例子就是，零流，即所有的流量都是0的流。 
我们就从这个零流开始考虑，假如有这么一条路，这条路从源点开始一直一段一段的连到了汇点，并且，这条路上的每一段都满足流量<容量，注意，是严格的<,而不是<=。那么，我们一定能找到这条路上的每一段的(容量-流量)的值当中的最小值delta。我们把这条路上每一段的流量都加上这个delta，一定可以保证这个流依然是可行流，这是显然的。 
    这样我们就得到了一个更大的流，他的流量是之前的流量+delta，而这条路就叫做增广路。 
    我们不断地从起点开始寻找增广路，每次都对其进行增广，直到源点和汇点不连通，也就是找不到增广路为止。当找不到增广路的时候，当前的流量就是最大流，这个结论非常重要。 
寻找增广路的时候我们可以简单的从源点开始做bfs，并不断修改这条路上的delta量，直到找到源点或者找不到增广路。 
这里要先补充一点，在程序实现的时候，我们通常只是用一个c数组来记录容量，而不记录流量，当流量+1的时候，我们可以通过容量-1来实现，以方便程序的实现。 
  
Bfs过程的半伪代码：下面另给一个C++版的模板 

int BFS()
{
    int i,j,k,v,u;
    memset(pre,-1,sizeof(pre));
    for(i=1;i<=n;++i)flow[i]=max_int;
    queue<int>que;
    pre[start]=0;
    que.push(start);
    while(!que.empty())
    {
        v=que.front();
        que.pop();
        for(i=1;i<=n;++i)
        {
            u=i;
            if(u==start||pre[u]!=-1||map[v][u]==0)continue;
            pre[u]=v;
            flow[u]=MIN(flow[v],map[v][u]);
            que.push(u);
        }
    }
    if(flow[end]==max_int)return -1;
    return flow[end];
}

 

但事实上并没有这么简单，上面所说的增广路还不完整，比如说下面这个网络流模型。 

 

我们第一次找到了1-2-3-4这条增广路，这条路上的delta值显然是1。于是我们修改后得到了下面这个流。（图中的数字是容量） 

 

这时候(1,2)和(3,4)边上的流量都等于容量了，我们再也找不到其他的增广路了，当前的流量是1。 
但这个答案明显不是最大流，因为我们可以同时走1-2-4和1-3-4，这样可以得到流量为2的流。 
那么我们刚刚的算法问题在哪里呢？问题就在于我们没有给程序一个”后悔”的机会，应该有一个不走(2-3-4)而改走(2-4)的机制。那么如何解决这个问题呢？回溯搜索吗？那么我们的效率就上升到指数级了。 
而这个算法神奇的利用了一个叫做反向边的概念来解决这个问题。即每条边(I,j)都有一条反向边(j,i)，反向边也同样有它的容量。 
我们直接来看它是如何解决的： 
  
在第一次找到增广路之后，在把路上每一段的容量减少delta的同时，也把每一段上的反方向的容量增加delta。即在Dec(c[x,y],delta)的同时，inc(c[y,x],delta) 
我们来看刚才的例子，在找到1-2-3-4这条增广路之后，把容量修改成如下 

 

 

这时再找增广路的时候，就会找到1-3-2-4这条可增广量，即delta值为1的可增广路。将这条路增广之后，得到了最大流2。 

 

 

那么，这么做为什么会是对的呢？我来通俗的解释一下吧。 
事实上，当我们第二次的增广路走3-2这条反向边的时候，就相当于把2-3这条正向边已经是用了的流量给”退”了回去，不走2-3这条路，而改走从2点出发的其他的路也就是2-4。（有人问如果这里没有2-4怎么办，这时假如没有2-4这条路的话，最终这条增广路也不会存在，因为他根本不能走到汇点）同时本来在3-4上的流量由1-3-4这条路来”接管”。而最终2-3这条路正向流量1，反向流量1，等于没有流量。 
这就是这个算法的精华部分，利用反向边，使程序有了一个后悔和改正的机会。而这个算法和我刚才给出的代码相比只多了一句话而已。 

 

模板如下：

#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn=205;
const int inf=0x7fffffff;
int r[maxn][maxn]; //残留网络，初始化为原图
bool visit[maxn];
int pre[maxn];
int m,n;
bool bfs(int s,int t)  //寻找一条从s到t的增广路，若找到返回true
{
    int p;
    queue<int > q;
    memset(pre,-1,sizeof(pre));
    memset(visit,false,sizeof(visit));
    pre[s]=s;
    visit[s]=true;
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        p=q.front();
        q.pop();
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(r[p][i]>0&&!visit[i])
            {
                pre[i]=p;
                visit[i]=true;
                if(i==t) return true;
                q.push(i);
            }
        }
    }
    return false;
}
int EdmondsKarp(int s,int t)
{
   int flow=0,d,i;
   while(bfs(s,t))
   {
       d=inf;
       for(i=t;i!=s;i=pre[i])
           d=d<r[pre[i]][i]? d:r[pre[i]][i];
       for(i=t;i!=s;i=pre[i])
       {
           r[pre[i]][i]-=d;
           r[i][pre[i]]+=d;
       }
       flow+=d;
   }
   return flow;
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)
    {
        int u,v,w;
        memset(r,0,sizeof(r));///
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            r[u][v]+=w;
        }
        printf("%d\n",EdmondsKarp(1,n));
    }
    return 0;
}