组合数学里一些比较重要（有意思）的结论

Posted 2020-11-25 p-y-y

1.过n个有标志顶点的树的数目等于n^n-2.（Cayley定理）

2.在n个不同元素中取r个作允许重复的组合，其组合数为C(n+r-1,r).

3.从A={1,2,…,n}中取r个作不相邻的组合，其组合数为C(n-r+1,r).

4.线性方程x₁+x₂+…+x_n=b的非负整数解的个数是(n+b-1,b).

5.C(m+n,m)=C(m+n,n)=C(n,r)=C(n,n-r).

6.C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1)（杨辉三角、Pascal 三角）

牛顿二项式定理：

7.C(n+r+1,r)=C(n+r,r)+C(n+r-1,r-1)+C(n+r-2,r-2)+…+C(n+1,1),C(n,0).

8.C(n,l)*C(l,r)=C(n,r)*(n-r,l-r).

9..C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2^m.

10.C(n,0)-C(n,1)+C(n,2)+…±C(n,n)=0（由牛顿二项式定理代入可证）

11.C(m+n,r)=C(m,0)*C(n,r)+C(m,1)*C(n,r-1)+…+C(m,r)*C(n,0),r<=min(m,n).

12.（由上式可得）若m<=n,则有C(m+n,m)=C(m,m)*C(n,0)+C(m,m-1)*C(n,1)+…+C(m,0)*C(n,m)=C(m,0)*C(n,0)+C(m,1)*C(n,1)+…+C(m,m)*C(n,m).

13.C(r,r)+C(r+1,r)+…+C(n,r)=C(n+1,r+1).

 （待更新...)