一些乱七八糟的数学结论

Posted 2021-01-10 guapisolo

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了一些乱七八糟的数学结论相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

1.错位排序：

错位排序数列：1,2,9,44,265......

给出一个1~n的排列，现在把它打乱，让每一位上的数和它的标号都不相同，求所有的打乱方案数

考虑1~n的全排列的数量，是 $技术分享图片$

那么，当某一位上的数和它的标号相同(其他位是否相同先不考虑)的情况，那么打乱方案数是 $技术分享图片$

可以看错把这一位去掉，剩下的数任意排列的方案数，一共n位，总数量就是 $技术分享图片$

发现会多减掉有两位都标号相同的情况，要加回来 $技术分享图片$

发现是一个容斥原理，继续推就行了

公式是 $技术分享图片$

2.卡特兰数

卡特兰数列：1,2,5,14......

矩阵递推式长这样 $技术分享图片$

形成的矩阵是这样的

1 1

1 2 2

1 3 5 5

1 4 9 14 14

1 5 14 28 42 42

......

很少见的递推比通项还复杂的数列

源公式： $技术分享图片$

递推公式： $技术分享图片$

通项公式： $技术分享图片$

具体推导挺复杂的

一些题目，比如求元素出栈方案数，多边形划分三角形等等

最近在NOI2018冒泡排序中出现过

以上是关于一些乱七八糟的数学结论的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章