递归算法

Posted 2020-11-24 xiaofengzai

递归

（一）简单的斐波那契数列

以下数列0 1 1 2 3 5 8 13 21 …被称为斐波纳契数列。

这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

输入一个整数N，请你输出这个序列的前N项。

输入格式

一个整数N。

输出格式

在一行中输出斐波那契数列的前N项，数字之间用空格隔开。

数据范围

0<N<460<N<46

输入样例：

5

输出样例：

0 1 1 2 3

思路：采用递归的思路+记忆化数组的方式

#include<iostream>
using namespace std;
int f[50];
int dfs(int x)
{
    if(f[x]!=0)
        return f[x];
    if(x==1)
        return 0;
    else if(x==2||x==3)
        return 1;
    else
        return f[x]=dfs(x-1)+dfs(x-2);
}
int main()
{
    int i,j,n;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
        cout<<dfs(i)<<" ";
    return 0;
}

（二） 递归实现指数型枚举

从 1~n 这 n 个整数中随机选取任意多个，输出所有可能的选择方案。

输入格式

输入一个整数n。

输出格式

每行输出一种方案。

同一行内的数必须升序排列，相邻两个数用恰好1个空格隔开。

对于没有选任何数的方案，输出空行。

本题有自定义校验器（SPJ），各行（不同方案）之间的顺序任意。

数据范围

1≤n≤151≤n≤15

输入样例：

3

输出样例：

3
2
2 3
1
1 3
1 2
1 2 3

思路：

通过一个状态数组来标记是否要挑选他，0是初始状态，1是挑选，2是不挑选，最终要遍历一遍，只要是状态为1的就输出。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,f[20];
void dfs(int x)
{
    if(x>n)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(f[i]==1)
                printf("%d ",i);
        }
        printf("
");
        return ;
    }
    f[x]=2;
    dfs(x+1);
    f[x]=0;

    f[x]=1;
    dfs(x+1);
    f[x]=0;
}
int main()
{
    int i;
    cin>>n;
    dfs(1);
    return 0;
}

 （三）递归实现排列型枚举

把 1~n这 n个整数排成一行后随机打乱顺序，输出所有可能的次序。

输入格式

一个整数n。

输出格式

按照从小到大的顺序输出所有方案，每行1个。

首先，同一行相邻两个数用一个空格隔开。

其次，对于两个不同的行，对应下标的数一一比较，字典序较小的排在前面。

数据范围

1≤n≤91≤n≤9

输入样例：

3

输出样例：

1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

思路：
建立两个数组，stat数组来存储数，used数组来标记是否使用过
通过递归的思想，若没有使用过则保存该数字同时标记为已使用过，若使用过则从下一个继续遍历，同时这样的操作满足字典序的要求
代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int stat[11];
bool used[11];
int n;
void dfs(int x)
{
    if(x>n)
    {
        //输出符合的数字
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            cout<<stat[i]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!used[i])
        {
            stat[x]=i;//存储数字
            used[i]=true;//设置为已使用
            dfs(x+1);//往后进行遍历
            //恢复原状态
            stat[x]=0;
            used[i]=false;
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    dfs(1);
    return 0;
}

（四）递归实现组合型枚举

从 1~n 这 n 个整数中随机选出 m 个，输出所有可能的选择方案。

输入格式

两个整数 n,m,在同一行用空格隔开。

输出格式

按照从小到大的顺序输出所有方案，每行1个。

首先，同一行内的数升序排列，相邻两个数用一个空格隔开。

其次，对于两个不同的行，对应下标的数一一比较，字典序较小的排在前面（例如1 3 5 7排在1 3 6 8前面）。

数据范围

n>0,
0≤m≤n，
n+(n−m)≤25

输入样例：

5 3

输出样例：

1 2 3 
1 2 4 
1 2 5 
1 3 4 
1 3 5 
1 4 5 
2 3 4 
2 3 5 
2 4 5 
3 4 5 

思路：该题和（三）很是相似，该提要求的是从n个数中挑选m个数，使其满足字典序的要求
我们应该如何做呢？
思考一下和上面那一道题有可以进行代码重用的地方，上面那道题是从n个数中都要，且不满足升序排列
而这道题的要求是从n个数中挑选m个数，保证同一行是升序排列，我们只需要在判断哪里加一行代码{!used[i]&&i>stat[x-1]}
然后遍历输出m个数即可

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int stat[50],n,m;
bool used[50];
void dfs(int x)
{
    if(x>m)
    {
        for(int i=1;i<=m;i++)
            cout<<stat[i]<<" ";
        cout<<endl;
        return ;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!used[i]&&i>stat[x-1])
        {
            stat[x]=i;
            used[i]=true;
            dfs(x+1);
            stat[x]=0;
            used[i]=false;
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    dfs(1);
    return 0;
}）

（五）带分数

100100 可以表示为带分数的形式：100=3+69258/714

还可以表示为：100=82+3546/197

注意特征：带分数中，数字 1∼9分别出现且只出现一次（不包含 0）。

类似这样的带分数，100 有 11 种表示法。

输入格式

一个正整数。

输出格式

输出输入数字用数码 1∼9 不重复不遗漏地组成带分数表示的全部种数。

数据范围

1≤N<10⁶

输入样例1：

100

输出样例1：

11

输入样例2：

105

输出样例2：

6

思路：首先我们先对结果表达式进行一下优化处理；假设n为输入的数字
n=a+b/c  ==   n*c=a*c+b
同时a,b,c要满足包含1-9，我们应该怎么处理？
我们可以将1-9，所有的数字分成三部分，每一部分代表一个数字（a||b||c）
还是通过stat数组来存储数字，uesd数组来存储是否使用，通过cal函数来算出对应的数字
然后进行判断是否满足要求

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int n,ans;
int stat[11];
bool used[11];
int cal(int l,int r)
{
    int sum=0;
    for(int i=l;i<=r;i++)
    {
        sum=sum*10+stat[i];
    }
    return sum;
}
void dfs(int x)
{
    if(x==10)
    {
        for(int i=1;i<8;i++)
        {
            for(int j=i+1;j<9;j++)
            {
                int a=cal(1,i);
                int b=cal(i+1,j);
                int c=cal(j+1,9);
                if(a*c+b==n*c)
                    ans++;
            }
        }
        return ;
    }
    for(int i=1;i<=9;i++)
    {
        if(!used[i])
        {
            stat[x]=i;
            used[i]=true;
            dfs(x+1);
            stat[x]=0;
            used[i]=false;
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    dfs(1);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

 

蓝桥杯准备第一天

2019.12.7日