loj6519 魔力环
Posted chy-2003
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了loj6519 魔力环相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
解题思路
考虑顺时针旋转 (i) 步得到的结果,根据Burnside引理,有
[ Ans=frac{sumlimits_{i=0}^{n-1}C(i)}{n} ]
(C(i)) 为旋转 (i) 步时不动点的数量。
实际上,旋转 (i) 步得到的是 (frac{n}{gcd(n,i)}) 个互不相干的环,每个环都是一个置换。不难发现,若一个方案在旋转 (i) 步的情况下为不动点,那么对于分割出来的每个小环,要么都为黑色,要么都为白色。
可以得到,对于 (gcd(n,i)) 相等的 (i) ,它们对答案的贡献是一样的。
所以可以枚举每个小环的长度 (l) 。不难发现 (l) 需要是 (n) 的因数。而由于每个小环要么全黑,要么全白,所以黑点数量应当为 (l) 的整数倍。即 (l|gcd(n,m)) 。
所以答案可以写成这样:
[ Ans = frac{sumlimits_{l|gcd(n,m)}f(l)phi(frac{n}{l})}{n} ]
用到了使用Burnside的时候常用的东西:
[ sumlimits_{i=0}^{n-1}gcd(i,n)=sumlimits_{d|n}sumlimits_{i=1}^{frac{n}{d}}[(i,frac{n}{d})=1]=sumlimits_{d|n}phi(frac{n}{d}) ]
接下来就要解决如何求 (f(l)) 。可以这样考虑:
对于环长 (l) , (n) 个点被分成了 (frac{n}{l}) 个环。不妨将每个点以其所在的点标号,那么就会产生类似于 (1,2,3,1,2,3) 这样的重复。也就是说,还可以将“ (1,2,3) ”看成 (1) 个环,总共 (l) 个环,每个环 (frac{n}{l}) 个点。为了方便叙述,不妨将其称为“第二种环”。
每个“第二种环”恰好有“第一种环”上每个环里一个点,也就是说,恰好有 (frac{m}{l}) 个黑点。即需要在一个 (frac{n}{l}) 元环上选 (frac{m}{l}) 个黑点,其中连续的黑点不超过 (k) 个。注意这里的环相当于有了标号,旋转相同的不算重复。
可以考虑断环成链,然后枚举链首尾连续的黑点个数之和 (j) 。如果记 (x) 个黑点分成 (y) 份,每份可以为空的方案数为 (F(x,y)) ,那么环上的答案就是:
[ f(l)=sumlimits_{j=0}^k(j+1)F(frac{m}{l}-j,frac{n}{l} - frac{m}{l} - 1) ]
而 (F) 的值可以通过容斥得到
[ F(x,y)=sumlimits_{i=0}^{i * (k+1) leqslant x, i leqslant y}(-1)^i{ychoose i}{x - i * (k + 1) + y - 1choose y - 1} ]
计算 (F(x,y)) 的时间复杂度是 (O(frac{x}{k})) 的,计算 (f(l)) 的时间复杂度是 (O(frac{n}{l})) 的。所以总的时间复杂度是 (O(n)) 的。
参考程序
#include <cstdio>
#define Maxn 100010
#define Mod 998244353
int Fact[Maxn], Inv[Maxn], Phi[Maxn], Vis[Maxn], Prime[Maxn], n, m, k;
inline void Pre();
inline int f(int x);
inline int F(int x, int y);
#define Add(x,y) ((x)+(y))%Mod
#define Dec(x,y) (x)>(y)?(x)-(y):(x)-(y)+Mod
#define Mul(x,y) 1ll*(x)*(y)%Mod
inline int Pow(int x,int y){int A=1;for(;y;y>>=1,x=Mul(x,x))if(y&1)A=Mul(A,x);return A;}
#define C(x,y) 1LL*Fact[x]*Inv[y]%Mod*Inv[(x)-(y)]%Mod
int main() {
scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
if (k == 0) return printf("%d
", m ? 0 : 1), 0;
if (m == 0) return printf("1
"), 0;
Pre();
int gcd = [](int x, int y)->int{int T = x % y; while(T) x = y, y = T,T = x % y; return y; }(n, m);
int Ans = 0;
for (int i = 1; i <= gcd; ++i)
if (!(gcd % i))
Ans = Add(Ans, Mul(f(i), Phi[i]));
Ans = Mul(Ans, Pow(n, Mod - 2));
printf("%d
", Ans);
return 0;
}
inline void Pre() {
Fact[0] = 1; for (int i = 1; i <= n; ++i) Fact[i] = Mul(Fact[i - 1], i);
Inv[n] = Pow(Fact[n], Mod - 2); for (int i = n - 1; i >= 0; --i) Inv[i] = Mul(Inv[i + 1], i + 1);
Phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
if (!Vis[i]) Phi[i] = i - 1, Prime[++Prime[0]] = i;
for (int j = 1; j <= Prime[0] && 1LL * i * Prime[j] <= n; ++j) {
Vis[i * Prime[j]] = 1;
if (i % Prime[j] == 0) { Phi[i * Prime[j]] = Phi[i] * Prime[j]; break; }
Phi[i * Prime[j]] = Phi[i] * (Prime[j] - 1);
}
}
return;
}
inline int f(int l) {
if (n / l - m / l == 1) return (m / l <= k) ? m / l + 1 : 0;
int Ans = 0;
for (int j = 0; j <= k; ++j)
Ans = Add(Ans, Mul(j + 1, F(m / l - j, n / l - m / l - 1)));
return Ans;
}
inline int F(int x, int y) {
int Ans = 0;
for (int i = 0; i * (k + 1) <= x && i <= y; ++i) {
if (i & 1) Ans = Dec(Ans, Mul(C(y, i), C(x - i * (k + 1) + y - 1, y - 1)));
else Ans = Add(Ans, Mul(C(y, i), C(x - i * (k + 1) + y - 1, y - 1)));
}
return Ans;
}
以上是关于loj6519 魔力环的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
[jzoj 6084] [GDOI2019模拟2019.3.25] 礼物 [luogu 4916] 魔力环 解题报告(莫比乌斯反演+生成函数)