[jzoj 6084] [GDOI2019模拟2019.3.25] 礼物 [luogu 4916] 魔力环 解题报告(莫比乌斯反演+生成函数)

Posted 2021-02-14 xxzh

题目链接：

https://jzoj.net/senior/#main/show/6084

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4916

题目：

题解：

我们设$f(x)$表示最小循环节长度为x的合法序列数，那么有$ans=sum_{d|gcd(n,m)}frac{1}{d}f(d)$

这是因为最小循环节为d的序列对应的环会被计算d次，比如

• 0101，最小循环节长度为 2（循环节为 01），其对应的环会被统计 2 次（序列 0101 与 1010）
• 0111，最小循环节长度为 4（循环节为 0111），其对应的环会被统计 4 次（序列 0111，1011，1101，1110）
• 1111，最小循环节长度为 1（循环节为 1），其对应的环会被统计 1 次（序列 1111）

直接求$f(x)$并不好求，我们令$g(x)=sum_{d|x}f(d)$，即$g(x)$表示最小循环节是x的因子的合法序列的个数。那么可以莫比乌斯反演来求$f(x)$,$f(x)=sum_{d|x}mu(d)g(frac{x}{d})$