魔力手环（快速幂求解）

Posted 2020-09-08 輪迴之間

 

题目链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/79c639e02bc94e6b919e3372c8e1dc5e

小易拥有一个拥有魔力的手环上面有n个数字(构成一个环),当这个魔力手环每次使用魔力的时候就会发生一种奇特的变化：每个数字会变成自己跟后面一个数字的和(最后一个数字的后面一个数字是第一个),一旦某个位置的数字大于等于100就马上对100取模(比如某个位置变为103,就会自动变为3).现在给出这个魔力手环的构成，请你计算出使用k次魔力之后魔力手环的状态。

输入描述:

输入数据包括两行：
第一行为两个整数n(2 ≤ n ≤ 50)和k(1 ≤ k ≤ 2000000000),以空格分隔
第二行为魔力手环初始的n个数，以空格分隔。范围都在0至99.

输出描述:

输出魔力手环使用k次之后的状态，以空格分隔，行末无空格。

 

输入例子:

3 2
1 2 3

 

输出例子:

8 9 7

思路：n个数的环进行移动相加，考虑到矩阵行、列变换可以完成这种移动和相加，于是构造出快速幂矩阵，快速幂矩阵M和原矩阵S相乘得到一次移动的结果，那么F(n+1) = M^n*S(这里的幂和乘法是矩阵的运算)，很容易得到如下递推示例：

 [[1 1 0] [0 1 1] [1 0 1]]*[[a][b][c]] = [[a+b][b+c][c+a]], 如此，已经确定了快速幂矩阵M，那么就要考虑如何相乘得到最快的幂求解速度。建议参看这篇博客

代码如下：（算法复杂度为O(n^3*log(k))）

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;


int main(){
    int n,k;
    cin >> n >> k;
    int d[n];//存放结果
    for(int i=0;i<n;++i) {
        cin >> d[i];
    }
    //构造快速幂矩阵
    int Mul[n][n];
    for(int i=0;i<n-1;++i) {
        fill(Mul[i],Mul[i]+n,0);
        Mul[i][i] = 1;
        Mul[i][i+1] = 1;
    }
    fill(Mul[n-1],Mul[n-1]+n,0);
    Mul[n-1][0] = 1;
    Mul[n-1][n-1] = 1;
    //转化为2进制，进行二分搜索
    while(k) {
        if(k&1) { 
            int temp[n];
            fill(temp, temp+n, 0);
            for(int i=0;i<n;++i) {
                for(int j=0;j<n;++j) {
                    temp[i] += (Mul[i][j]*d[j]);
                    temp[i] = temp[i]%100;
                }
            }
            memcpy(d, temp, sizeof(d));
        }
        k = k>>1;
        int temp[n][n];
        for(int i=0;i<n;++i) {
            fill(temp[i],temp[i]+n,0);
        }
        for(int i=0;i<n;++i) {
            for(int j=0;j<n;++j) {
                for(int k=0;k<n;++k) {
                    temp[i][j]+=Mul[i][k]*Mul[k][j];//二维矩阵相乘
                }
                temp[i][j] %= 100;//快速幂取余中，a^k % c =  (a % c)^k % c
            }
        }
        for(int i=0;i<n;++i) {
            memcpy(Mul[i],temp[i],sizeof(Mul[i]));
        }
    }
    //输出结果
    for(int i=0;i<n-1;++i) {
        cout << d[i] << \' \';
    }
    cout << d[n-1] << endl;
    return 0;
}

 矩阵快速幂的总结（更多问题->熟练掌握）