习题：逼死强迫症（矩阵快速幂）

Posted 2020-11-23 loney-s

题目

传送门

思路

我们设(ans_i)为(2*i)矩阵的答案

那么(ans_i)怎么转移呢？

首先有一点很容易明白

如果特殊方块不在新进入的矩阵中

那么(ans_i=ans_{i-1}+ans_{i-2}+x)

因为对于(2*(i-1)和2*(i-2))两个矩阵，如果特殊方块不在新进入的矩阵中，

那么构成就只有一种情况

如果特殊方块在新进入的矩阵中呢？

对于标红的两个矩阵是必填的，

并且在特殊方块之下的所有矩阵都必须竖着放，也就是只有一种方案

在之后，在特殊方块之上就是一个经典的模型:(2*n的矩阵用1*2的矩阵填入的方案数)

得到最终的转移方程

(ans_n=ans_{n-1}+ans_{n-2}+sum_{i=0}^{n-3}f_i)

其中(f_i)为斐波拉契数列

其中(f_0=1,f_1=1)

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const long long mod=1e9+7;
struct node
{
    int n,m;
    long long a[10][10];
    node()
    {
        n=0;
        m=0;
        memset(a,0,sizeof(a));      
    }
    friend node operator * (const node &a,const node &b)
    {
        node t;
        t.n=a.n;
        t.m=b.m;
        for(int i=1;i<=a.n;i++)
            for(int j=1;j<=b.m;j++)
                for(int k=1;k<=a.m;k++)
                    t.a[i][j]=(t.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
        return t;
    }
}ori,acc;
long long T;
long long n;
node qkpow(node a,int b)
{
    if(b==1)
        return a;
    node t=qkpow(a,b/2);
    t=t*t;
    if(b%2==1)
        t=t*a;
    return t;
}
void c_in()
{
    cin>>n;
    if(n<=2)
    {
        cout<<"0
";
        return;
    }
    if(n==3)
    {
        cout<<"2
";
        return ;
    }
    ori.n=7;//f3 f2 s3 s2 s1 ans3 ans2
    //f为斐波拉契数列，s为前缀和，ans为答案
    ori.m=1;
    ori.a[1][1]=3;
    ori.a[2][1]=2;
    ori.a[3][1]=7;
    ori.a[4][1]=4;
    ori.a[5][1]=2;
    ori.a[6][1]=2;
    ori.a[7][1]=0;
    acc.n=7;
    acc.m=7;
    acc.a[1][1]=acc.a[1][2]=acc.a[2][1]=acc.a[3][1]=acc.a[3][2]=acc.a[3][3]=acc.a[4][3]=acc.a[5][4]=acc.a[6][6]=acc.a[6][7]=acc.a[7][6]=1;
    acc.a[6][5]=2;
    ori=qkpow(acc,n-3)*ori;
    cout<<ori.a[6][1]<<'
';
}
int main()
{
    cin>>T;
    for(int i=1;i<=T;i++)
        c_in();
    return 0;
}