F. Make Them Similar （ 暴力折半枚举 + 小技巧 ）

Posted 2020-11-23 willems

传送门

题意： 给你 n 个数 a[ 1 ]  ~ a[ n ]， n <= 100； 让你找一个 x ， 使得 a[ 1 ] = a[ 1 ] ^ x ~ a[ n ] = a[ n ] ^ x；

　　　且 a[ 1 ] ~ a[ n ] 的二进制位上的 1 的个数相等。  每个 a[ i ] <= 2^30；

 

解： a[ i ] <= 2 ^ 30； 那么x也不会超过 2^30； 那我们暴力枚举两个 2 ^ 15;

　　  分别枚举 x 异或上 a[ i ] 的 低 15， 和 x 异或上 a[ i ] 的高15位；

　　  然后我们用 cnt[ 0 ][ 1 ]代表 a[ 1 ] 这个数 异或上你枚举的这个x后， 的低15位上 1 的个数。

　　  cnt[ 1 ][ 1 ] 代表 a[ 1 ] 这个数 异或上你枚举的 这个 x后， 的高 15 位上 1 的个数。

　　  那我们要找到一个 x，使得 cnt[ 0 ][ 1 ] + cnt[ 1 ][ 1 ]  = cnt[ 0 ][ 2 ] + cnt[ 1 ][ 2 ] = ...... = cnt[ 0 ][ n ] + cnt[ 1 ][ n ]；

　　  那我们是 cnt[ 0 ] 和 cnt[ 1 ] 分开枚举的嘛。 　　

　　  那当我们枚举低15位时。我们就 开个 vector 存一下， cnt[ 0 ] 的 后一位减去前一位。 即  vector 存的是

　　  cnt[ 0 ][ 2 ] - cnt[ 0 ][ 1 ], cnt[ 0 ][ 3 ] - cnt[ 0 ][ 2 ]； ........ cnt[ 0 ][ n ] - cnt[ 0 ][ n - 1 ]；

　　那我们枚举高15位时。 我们的 vector 存的就是 -1 * cnt[ 1 ]的后一位减去前一位。 即

　　　-1 * (  cnt[ 1 ][ 2 ] - cnt[ 1 ][ 1 ] ) ........ -1 * (  cnt[ 1 ][ n ] - cnt[ 1 ][ n - 1 ]  )；

　　然后， 当 cnt[ 0 ] 的vector 和 cnt[ 1 ] 的vector 是一样的时候， 就意味着， 每个数的 cnt[ 0 ] + cnt[ 1 ] 是相等的。

　　因为， cnt[ 0 ][ 2 ] - cnt[ 0 ][ 1 ] = -1 * (  cnt[ 1 ][ 2 ] - cnt[ 1 ][ 1 ]  )； 即

　　cnt[ 0 ][ 2 ] + cnt[ 1 ][ 2 ] = cnt[ 0 ][ 1 ] + cnt[ 1 ][ 1 ]；

　　所以， 我们就找到 x 了， 我们开个 map， 存一下 每个 vector 对应的 状态 （statu）；就行了。

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define rep(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++)
#define dep(i, j, k) for(int i = k; i >= j; i--)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i))
#define pb push_back
using namespace std;
int ans = -1, n;
map < vector< int >, int > mp;
vector< int > Q;
int a[105];
void dfs1(int num, int statu) {
    if(num > 15) {
        Q.clear();
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            Q.push_back(__builtin_popcount((statu ^ a[i]) % (1 << 15)));
        }
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            Q[i - 1] = Q[i] - Q[i - 1];
        }
        Q.pop_back();
        if(!mp[Q]) mp[Q] = statu;
        return ;
    }
    dfs1(num + 1, statu);
    dfs1(num + 1, statu | (1 << (num - 1)));
}
void dfs2(int num, int statu) {
    if(num > 15) {
        Q.clear();
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            ///__builtin_popcount(x) 用于计算x的二进制位上1的个数。
            Q.push_back(__builtin_popcount(statu ^ (a[i] >> 15)));
        }
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            Q[i - 1] = -1 * (Q[i] - Q[i - 1]);
        }
        Q.pop_back(); /// 弹出最后一个元素。
        if(mp[Q]) {
            ans = mp[Q] | (statu << 15);
        }
        return ;
    }
    dfs2(num + 1, statu);
    dfs2(num + 1, statu | (1 << (num - 1)));
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    dfs1(1, 0); dfs2(1, 0);
    printf("%d
", ans);
    return 0;
}

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