每日一题_191120

Posted 2020-11-23 math521

边长为(1)的正方形(ABCD)的顶点(A,D)分别在(x)轴,(y)轴的正半轴上滑动,则(overrightarrow{OB}cdot overrightarrow{OC})的最大值为(underline{qquadqquad}).
解析:
如图,记(E,F)分别为(AD,BC)的中点,

于是
[ egin{split} overrightarrow{OB}cdotoverrightarrow{OC}&=left(overrightarrow{OF}+overrightarrow{FC} ight)cdotleft(overrightarrow{OF}+overrightarrow{FB} ight) &=|OF|^2-|FB|^2 &=|OF|^2-dfrac{1}{4} &leqslantleft(|OE|+|EF| ight)^2-dfrac14 &= 2. end{split} ]
当且仅当(E)点位于(OF)线段上时,上述不等式取等,因此所求表达式的最大值为(2).