每日一题_191002

Posted 2022-12-08 math521

已知函数\\(f(x)=x^3+ax^2+bx\\)有两个极值点\\(x_1,x_2\\),且\\(x_1<x_2\\),若\\(x_1+2x_0=3x_2\\),则函数\\(g(x)=f(x)-f(x_0)\\)的零点个数情况为\\((\\qquad)\\)
\\(\\mathrmA.\\)恰有\\(1\\)个零点
\\(\\mathrmB.\\)恰有\\(2\\)个零点
\\(\\mathrmC.\\)恰有\\(3\\)个零点
\\(\\mathrmD.\\)零点个数不确定
解析: 引理\\(:\\) 三次函数的对称性 \\(\\mathrmII \\qquad\\) 设\\[f(x)=ax^3+bx^2+cx+d ,a\\ne 0.\\]的极大值为\\(M\\)，方程\\(f\\left( x \\right) = M\\)的两根为\\[x_1,x_2, (x_1<x_2)，\\]则区间\\(\\left[ x_1,x_2 \\right]\\) 被 \\(-\\dfracb3a\\)和极小值点三等分．

记三次函数的极小值点为\\(x_3\\)，则\\[x_1+x_3=-\\dfrac2b3a.\\]
另一方面\\(f(x)=M=f(x_1)\\)得\\[a(x^3-x_1^3)+b(x^2-x_1^2)+c(x-x_1)=0,\\]整理得\\[(x-x_1)\\left[ax^2+(ax_1+b)x+(ax_1^2+bx_1+c)\\right]=0,\\]由韦达定理有\\[x_1+x_2=-\\dfracax_1+ba,\\]所以有\\(2x_1+x_2=-\\dfrac ba\\)，于是引理得证.
回到原题我们可知\\[x_0=\\dfrac32x_2-\\dfrac12x_1=x_2+\\dfrac12\\left(x_2-x_1\\right).\\]结合三次函数的对称性\\(\\mathrmII\\)可知\\[f(x_1)=f(x_0),x_1\\neq x_0,\\]所以\\(g(x)=f(x)-f(x_0)\\)的有且仅有两个零点.