小波变换教程(十五)

Posted 2020-11-23 sggggr

小波级数：CWT的离散化（一）

        如今，人们大量使用计算机来完成大数据量的运算。显然，无论是傅立叶变换(FT)，短时傅立叶变换(STFT)还是连续小波变换(CWT)，都能用解析式、积分等方式来计算。于是在用计算机实现的过程中就会遇到离散化的问题。如果FT与STFT一样，最直观的做法是直接在时-频平面上进行采样。更直观地，对时-频平面进行均匀采样是最自然的选择。但是，在小波变换中，变化的尺度可以用来降低采样率。

        在高尺度部分（即低频部分），根据奈奎斯特定理，采样率可以降低。换句话说，在时间-尺度平面上，如果可以用采样率N_1对尺度s_1进行采样，那么同样可以用采样率N_2对尺度s_2进行采样。其中s_1< s_2(对应频率f1>f2)，并且N_2 < N_1。N_2 与 N_1之间的关系为：

                                     

                                                      式 3.20

或者用频率表示，可写为：

                          

                                                    式 3.21

        这意味着，在低频部分可以用较低的采样率进行采样，从而节省相当可观的运算量。

        需要说明的是，如果仅考虑信号的分解，那么离散化的过程可以不受任何条件的限制。

        如果不需要信号的合成，离散化的过程甚至都不需要满足奈奎斯特定理。但是如果还需要对信号进行重构，那么对离散化及采样频率的限制就变得非常重要。奈奎斯特采样频率是能够保证连续信号能够从离散信号完全重构的最小频率。正是因为这个原因，前面提到的基矢量才特别重要。

        前面已经提到，小波psi(tau,s)如果满足式3.18所示的容许性条件，则能够利用式3.17完全恢复原始信号。对连续变换而言这是正确的。可问题是，如果我们在时间-尺度平面上进行了离散化，还能重构吗？回答是能够，但是必须满足一定的条件。

        尺度参数 s首先以对数方式进行离散化。然后再在对应的尺度参数上对时间参数进行离散化。即不同的尺度上使用了不同的采样频率。这也就是说，采用了如图3.17所示的二进采样栅格来对时间-尺度平面进行采样。

                        

                                                                                                图 3.17

         考虑整个时间-尺度平面，连续小波变换的计算要在整个平面上逐点进行，因此，连续小波变换系数的数目为无穷多。离散化的过程首先考虑尺度轴。虽然尺度轴上的点数为无穷多，但利用对数规则，仅需要用到很少的一部分。对数的基可以根据需要选择。最常见的是选2，因为这样非常方便。如果选了以2为底的对数，即仅有2,4,8,16,32,64，…，等有限的一些尺度需要计算。当然，对数的基也可选为3，那样的话仅有3,9,27,81,243，…，等有限的一些尺度需要计算。在对尺度轴进行离散化之后再对时间轴进行离散化。如果选定对数的基为2，那么离散的尺度以2为因子变化。于是不同尺度上的时间采样率也同样以2为因子变化。 

        这里需要说明的是，图3.17中，在最小的尺度上(s=2)，时间轴上仅采样到32点数据。在下一个尺度上，即s=4，时间轴上的采样率降低了2倍，因为尺度参数增加了2倍，于是在s=4这个尺度上，仅采样到16点数据。同理，再下一个尺度s=8上，仅有有8个采样点。

        虽然常称为时间-尺度平面，实际上更准确的叫法是平移-尺度平面。因为变换域中的时间实际上对应着小波在时间上的平移。对小波级数而言，时间实际上仍然是连续的。

与傅立叶变换(FT)、傅立叶级数(FS)和离散傅立叶变换(DFT)之间的关系相同，同样也有连续小波变换(CWT)、半离散小波变换（即小波级数, WS）和离散小波变换(DWT)。

　　如果用数学公式来描述上述离散化过程，尺度参数离散为s = s_0^j，平移参数离散为tau = k*s_0^j*tau_0，其中 s_0>1，tau_0>0。 由此可以看出平移参数的离散化是如何依赖于尺度离散化参数s_0。