小波变换教程

Posted 2020-11-23 sggggr

  下面我们会更进一步的分析小波变换的分辨率特征。还记得，正是由于分辨率的问题，才使得我们短时傅立叶变换转到小波变换上。

        图3.9经常被用来解释怎样诠释时间和频率分辨率。图3.9中的每个方块都反映了在时频平面内的小波变换结果。所有的方块都有特定的非零区域，这说明在时频平面内，不能知道某个特定点对应的值。时频平面内每个方块中的点都代表了小波变换的一个结果。

            

                                                                                                图3.9

        更深入的看一下图3.9，虽然方块的宽高改变了，但是其面积却是常数。即每一个方块都代表时频平面内相等的部分，只不过时间和频率不相同。注意到在最低频处，方块的高度比较短（意味着频率分辨率最高，更容易知道确切的频率），但是最高频处的方块高度最高（意味着频率分辨率最低，更不易知道确切的频率）。在高频处，方块的宽度减小，时间分辨率提高了，随着方块高度降低，频率分辨率越来越低。

        在总结这一节之前，我们应该再提一下快速傅立叶变换中的时频图是怎么样的。回想一下快速傅立叶变换中的时频分辨率是由窗口宽度决定的，一旦确定就不变了，因此时频分辨率也就固定了。因此它的时频平面是由方块组成的。

        不考虑放宽的维数，STFT和WT的结果都满足海森堡测不准原理。总结一下，方块的面积对STFT和CWT来说都是固定的，不同的窗函数将产生不同的面积。但是，不管怎样，方块的面积都至多在1/4pi左右。根据海森堡测不准原理，我们不能将方块无限缩小。但在另一方面，对于一个给定的母小波，方块的维数可以改变，但是其面积保持不变。这就是小波变换的结果。