线性代数之——正定矩阵

Posted 2020-11-22 seniusen

这部分我们关注有正特征值的对称矩阵。如果对称性使得一个矩阵重要，那么所有特征值大于零这个额外属性则让这个矩阵真正特殊。但我们这里的特殊并不是稀少，事实上在各种应用中具有正特征值的对称矩阵非常常见，它们被称作正定矩阵。

我们可以通过检查特征值是否大于零来识别正定矩阵，但计算特征值是一项工作，当我们真正需要它们的时候我们可以进行计算，而如果我们仅仅想知道它们是否是正的，我们有更快的方式。

1. 正定矩阵的判断

首先，由于矩阵是对称的，所有的特征值自然都是实数。让我们以一个 2×2 的矩阵开始，

[A = egin{bmatrix} a&b \b&cend{bmatrix}]

A 的特征值是正的当且仅当 (a > 0) 并且 (ac-b^2>0)。

如果 2×2 矩阵的特征值 (lambda_1>0)，(lambda_2>0)，那么它们的乘积等于行列式， (lambda_1lambda_2=|A|=ac-b^2>0)，它们的和等于矩阵的迹，(lambda_1+lambda_2=a+c>0)，所以 (a) 和 (c)都必须是正的。

A 的特征值是正的当且仅当主元是正的。

这连接了线性代数的两大部分，正的特征值意味着正的主元，反之亦然。而且，主元往往比特征值计算得更快。

• 基于能量的定义

[Ax=lambda x o x^TAx=lambda x^Tx=lambda ||x||^2>0]

所以，如果特征值大于零，(x^TAx) 对于所有的特征向量也大于零。事实上，不仅仅是特征向量，针对任意非零向量 (x)，上式也同样成立。

A 是正定的，如果有 (x^TAx > 0) 对任意非零向量都成立。

从这个定义中我们可以得出，如果 (A, B) 是对称的正定矩阵，那么 (A+B) 也是.

如果 (R) 的列是不相关的，那么 (A=R^TR) 是正定的。

[x^TAx=x^TR^TRx=(Rx)^TRx=||Rx||^2]

因为 (R) 的列是不相关的，所以针对任意非零向量 (x)，(Rx ot = oldsymbol{0})。

当一个对称的矩阵具有下列五个属性之一，那么它一定满足所有的属性。

• 1. 所有的 (n) 个主元是正的。
• 1. 所有的 (n) 个左上行列式是正的，也就是 (1×1, 2×2 cdots n×n) 的行列式。
• 1. 所有的 (n) 个特征值是正的。
• 1. (x^TAx>0) 除了零向量。
• 1. (A=R^TR) 对于一个有着不相关列的矩阵 (R)。

2. 半正定矩阵

经常情况我们会在正定的边缘，行列式为零，最小的特征值为零，这些在边缘的矩阵被称为半正定矩阵。

(A) 的特征值为 5 和 0，左上行列式为 1 和 0，它的秩为 1，可以被分解为具有相关列的矩阵 (R^TR)。

如果将元素 4 增加一个任意小的数字，那么矩阵将会变成正定的。同样地， (B) 也可以写成 (R^TR) 的形式，但是 (R) 的列肯定是相关的。

3. 第一个应用：椭圆 (ax^2+2bxy+cy^2=1)

1. 倾斜的椭圆和矩阵 A 联系在一起，(x^TAx=1)。
2. 排好的椭圆和矩阵 (Lambda) 联系在一起，(X^TLambda X=1)。
3. 将椭圆排好的旋转矩阵则是特征向量矩阵 (Q)。

针对椭圆方程 (5x^2+8xy+5y^2=1)，我们有：

[ egin{bmatrix} x & y end{bmatrix} egin{bmatrix} 5 &4 \ 4& 5 end{bmatrix} egin{bmatrix} x \ y end{bmatrix} = 1 quad A = egin{bmatrix} 5 &4 \ 4& 5 end{bmatrix} ]

将 (A) 分解为 (QLambda Q^T) 我们得到：

[egin{bmatrix} 5 &4 \ 4& 5 end{bmatrix} = frac{1}{sqrt 2}egin{bmatrix} 1&1 \ 1&-1 end{bmatrix} egin{bmatrix} oldsymbol 9&0 \ 0&oldsymbol 1 end{bmatrix} frac{1}{sqrt 2} egin{bmatrix} 1&1 \ 1&-1 end{bmatrix} ]

椭圆方程则也可以重写为：

[5x^2+8xy+5y^2=1 = 9*(frac{x+y}{sqrt 2})^2+1*(frac{x-y}{sqrt 2})^2]

可以看到，方程的系数是两个特征值 9 和 0，而在平方内部则是两个特征向量 ((1, 1)/sqrt 2) 和 ((1, -1)/sqrt 2)。椭圆的坐标轴是沿着特征向量的方向，这也就是为什么 (A=QLambda Q^T) 被称作主轴定理，特征向量指出了坐标轴的方向，特征值则指出了长度。

将椭圆排好后，较大的特征值 9 给出了短半轴的长度 (1/sqrt lambda_1 = 1/3)，较小的特征值 1 给出了长半轴的长度 (1/sqrt lambda_2 = 1)。在 (xy) 系统中，坐标轴沿着 (A) 的特征向量的方向，而在 (XY) 系统中，坐标轴沿着 (Lambda) 的特征向量的方向。

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