线性代数笔记： Cholesky分解

Posted 2021-11-09 UQI-LIUWJ

1 介绍

        当一个实矩阵A是对称正定矩阵的时候，它可以分解成一个下三角矩阵L以及它的转置的乘积，即：

  1.1 矩阵半正定的情况

        如果矩阵是正定的话，那么L唯一确定；如果矩阵是半正定的话，那么也可以分解，不过此时L不唯一。

 2 举例

3 使用  scipy.linalg.cholesky求解

3.1 用法

scipy.linalg.cholesky(
    a, 
    lower=False, 
    overwrite_a=False, 
    check_finite=True)

 返回值：c：(M，M)ndarray，表示a的上三角或下三角Cholesky因子。

 3.2 参数介绍

a	(M, M) array_like 待分解的矩阵
lower	bool, 可选参数 是计算上三角Cholesky还是下三角Cholesky分解。默认值为upper-triangular
overwrite_a	bool, 可选参数 是否覆盖a中的数据(可能会提高性能)
check_finite	bool, 可选参数 是否检查输入矩阵仅包含有限数。禁用可能会提高性能，但是如果输入中确实包含无穷大或NaN，则会导致问题(崩溃，终止)。

3.3 用法举例 

import numpy as np
from scipy import linalg

a = np.array([[4, 12, -16],
              [12, 37, -43],
              [-16, -43, 98]])
L_lower = linalg.cholesky(a, lower=True) 
# 默认计算 upper， 所以指定 lower = True
L_upper = linalg.cholesky(a) 
print(L_lower,'\\n',L_upper)
'''
[[ 2.  0.  0.]
 [ 6.  1.  0.]
 [-8.  5.  3.]] 
 [[ 2.  6. -8.]
 [ 0.  1.  5.]
 [ 0.  0.  3.]]
'''
print(L_lower @ L_upper)
'''
[[  4.  12. -16.]
 [ 12.  37. -43.]
 [-16. -43.  98.]]
'''

4 平方根法求L

我们假设矩阵A可以分解成

的结果为：

• 首先我们看第一个元素：
• 然后我们看第一列的其他元素：         
• 之后，我们假设已经算出了L矩阵的前k-1列元素
  • 通过  ，可以得到：
  • 进一步再由，可以得到： 
• 于是我们可以通过以上方式迭代求得L

 5 在计算机编程中 Cholesky分解的作用

         在计算机程序中常常用到这种方法解线性代数方程组。它的优点是存储量很省。用矩阵A一半的存储空间，就可以表达A的全部信息        

参考资料

数学之美：cholesky矩阵分解_BigCowPeking-CSDN博客_cholesky分解

Cholesky分解 - 知乎 (zhihu.com)