K近邻法

Posted 2020-11-22 weilonghu

k-NN是一种基本分类回归方法。k近邻法输出为实例类别，可以取多类

k-NN假定给定一个训练集，其中的实例类别已定。分类时，对于新实例，根据其k个最近邻的训练实例的类别，通过多数表决等方式预测。因此，k-NN不具有显式的学习过程

(k)的选择、距离度量及分类决策规则(如多数表决)是k-NN的三个基本要素

k-NN使用的模型实际上对应于对特征空间的划分。当训练集、距离度量、k值和分类决策规则确定后，对于任何一个新的输入实例，它所属的类唯一的确定。

K值的选择

• k值的减小：
  • 减小“近似误差”，增大“估计误差”
  • 整体模型变得复杂，临近点如果恰好是噪声，容易发生过拟合
• k值增大：
  • 减小“估计误差”，增大“近似误差”
  • 整体模型变得简单，容易欠拟合
  • 极端情况(k=N)
• 取一个比较小的数值，通常采用交叉验证法来选取最优的(k)值

k-NN的实现：kd树

线性扫描：计算输入实例与每一个训练实例的距离，计算量太大

构造kd树

kd树是一种对k维空间中的实例点进行存储以便对其进行快速搜索的树形数据结构。kd树是二叉树，表示对k维空间的一个划分。构造kd树相当于不断地用垂直于坐标轴的超平面将k维空间切分，构成一系列的k维超矩形区域。kd树的每个节点对应于一个k维超矩形区域。

构造平衡kd树

平衡kd树（中位数作为切分点）不一定是搜索效率最优的

• 输入：数据集T，其中(x_i=(x^{(1),cdots,x^{(k)}})^T)
• 输出：kd树
  1. 开始：构造根节点，根节点对应于包含(T)的k维空间的超矩形区域。选择(x^{(1)})为坐标轴，以(T)中所有的实例的(x^{(1)})坐标的中位数为且分点，将根节点对应的超矩形区域切分为左右两个子区域。将落在切分超平面上的点保存在根节点。
  2. 对深度为(j)的节点，选择(x^{(l)})作为切分坐标轴，(l=j(mod k)+1)(依次选取各坐标轴)，取该坐标轴实例的中位数作为切分点，继续切分。
  3. 直到两个子区域没有实例存在时停止，从而形成kd树的区域划分

搜索kd树

kd树的最近邻搜索算法：

• 输入：已构造好的kd树，目标点(x)
• 输出：(x)的最近邻
  1. 在kd树种找出包含目标点(x)的叶节点：从根节点出发，递归的向下访问。若目标点(x)当前维小于且分点坐标，则移动到左节点，否则移动到右节点。
  2. 以此叶节点作为“当前最近点”
  3. 递归向上回退，在每个节点进行如下操作：
     • 如果该节点保存的实例点比当前最近点距离目标点近，则以该实例点为“当前最近点”
     • 当前最近点一定存在于该节点一个子节点对应的区域，检查该子节点的父节点的另一子节点对应的区域是否有更近的点。具体地，检查另一子节点对应的区域是否与以目标点为球心，以目标点与“当前最近点”距离为半径的超球体相交。
       • 如果相交，可能在另一个子节点对应的区域内存在距目标点更近的点，移动到另一个子节点，接着递归进行搜索。
       • 如果不相交，向上回退
  4. 回退到根节点时，搜索结束。当前最近点即为(x)的最近邻点

如果实例点是随机分布的，kd树搜索的平均复杂度为(O(log N))，(N)为训练样本数。kd树适合训练实例数远大于空间维数的情况。当空间维数接近实例数时，效率接近线性扫描