费马小定理

Posted 2020-11-22 thornblog

费马小定理

定义

对于质数 (p)，当 (a) 是一个与 (p) 互质的整数时有：
[ a^{p-1}equiv 1quad (mod; p) ]
当然也可以化成：
[ a^pequiv aquad (mod; p) ]

证明

数学归纳法

1. 当 (a=0) 时，显然成立。

2. 当 (a^pequiv aquad (mod;p)) 成立时：
   [ (a+1)^p=a^p+C^{1}_{p}a^{p-1}+C^{2}_{p}a^{p-2}+dots+C^{p-1}_{p}a+1 ag1 ]
   我们发现 (p|C^{i}_{p};(i=1,2,dots,p-1))，证明如下：
   [ C^{i}_{p} =frac{p!}{(p-i)! imes i!} =frac{p imes (p-1) imes (p-2) imesdots imes(p-i+1)}{i imes(i- 1) imesdots imes1} ]
   我们知道，对于 (1) 到 (i) 的每一个数，在一个长度为 (i) 的连续数列中都能找到其整倍数。

   那么(i,i-1,dots ,1) 在 (p,p-1,p-2,dots,p-i+1) 中就会一一对应一个整倍数，如果有重复，会有两种情况，1. 两数互质，那么两数会分别除掉这个整倍数不同的因数。2.不互质，这时我们可以将此数表示成 (gcd imes x) 的形式，两数的 (x) 互质，可以作为情况 (1) 考虑，而既然有 (gcd) 的几倍存在，(gcd) 这个因子一定出现了多次（次数和 (gcd) 的倍数个数一样），分别除即可。

   然而当 (i) 不等于 (p) 时，只有 (1) 能整除质数 (p) ，那么 (C^{i}_{p}) 就一定是 (p) 的倍数。

3. 然后我们根据 ((1)) 式可以得到：

   [ (a+1)^p=a^p+C^{1}_{p}a^{p-1}+C^{2}_{p}a^{p-2}+dots+C^{p-1}_{p}a+1 equiv a^p+1quad(mod;p) ]

4. 因为我们已知 (a^pequiv aquad (mod;p)) 所以：
   [ (a+1)^pequiv a^p+1equiv a+1quad(mod;p) ]

欧拉定理证明

还未了解欧拉定理的可以去本人博客查看。

• 其实费马小定理就是欧拉定理的特殊情况

• 已知欧拉定理 (a^{varphi(p)}equiv 1quad(mod;p)) ，当 (p) 是质数时， (varphi(p) =p-1) 。

  证毕。

• (frak byquad \_thorn)