每日一题_191108

Posted 2020-11-21 math521

函数(y=sqrt{3}left(dfrac{x}{3}-dfrac{2}{x} ight))图象为双曲线,则其焦点坐标为(underline{qquadqquad}).
解析:
法一 显然,该双曲线关于原点中心对称,但其焦点并未在坐标轴上,现拟将该双曲线通过旋转变换,使得新双曲线的焦点位于坐标原点.再反解出旋转变换前的焦点坐标.设将原双曲线绕着原点逆时针旋转( heta),设旋转后的双曲线上任意点的坐标为((a,b)),则旋转前坐标((x,y))与旋转后坐标((a,b))有如下关系(:)
[ egin{cases} &x=acos heta+bsin heta, &y=-asin heta+bcos heta, end{cases} ]
代入原函数表达式可得[ Acdot a^2+Bcdot b^2+Ccdot ab+D=0.]其中[ egin{cases} & A=cos^2 heta+sqrt{3}sin hetacos heta, & B=sin^2 heta-sqrt{3}sin hetacos heta, & C=sin2 heta-sqrt{3}cos2 heta, & D=-6, end{cases} ]若要使得旋转后的双曲线的焦点位于坐标轴上,则交叉项的系数必须为(0),也即(C=0),又即[ sin2 heta-sqrt{3}cos2 heta=0.]因此( heta)的一个解为(dfrac{pi}{6}).此时[ (A,B,C)=left(dfrac{3}{2},-dfrac{1}{2},-6 ight).]于是将原双曲线绕着坐标原点逆时针旋转(dfrac{pi}{6})后的双曲线方程为[ dfrac{a^2}{4}-dfrac{b^2}{12}=1.]新双曲线的焦点坐标为((pm 4,0)).于是可得旋转前双曲线的焦点坐标为[
egin{cases}
&x=acos heta+bsin heta=pm 2sqrt{3},
&y=-asin heta+bcos heta=mp 2,
end{cases}
]因此所求双曲线的焦点坐标为(left(2sqrt{3},-2 ight))与(left(-2sqrt{3},2 ight)).

法二 易知,函数(y=sqrt{3}left(dfrac{x}{3}-dfrac{x}{2} ight))的两条渐近线为(x=0)与(y=dfrac{x}{sqrt{3}}).

作这两条渐近线的两条角平分线(y=sqrt{3}x)与(y=-dfrac{x}{sqrt{3}}),若将双曲线放置于这两条角平分线所构成的平面直角坐标系中,则该双曲线的焦点位于直线(y=-dfrac{x}{sqrt{3}})上,记为(M,N),(A,B)为该双曲线的实轴端点.若记新坐标系下的双曲线方程为[ dfrac{x^2}{a^2}-dfrac{y^2}{b^2}=1,a,b>0.]记半焦距为(c),则易知[ egin{cases} &|AB|=2a=4, &dfrac{b}{a}=sqrt{3}. end{cases} ]
解得((a,b)=(2,2sqrt{3})),从而[ |MN|=2c=2sqrt{a^2+b^2}=8.]于是易得两焦点也即(M,N)的坐标为[ M(2sqrt{3},-2),N(-2sqrt{3},2).]