线性基

Posted 2020-11-21 zhongzero

uoj 91 最大异或和

要求:维护一个线性基，每次加入一个元素，替换掉最先加入的一个与它 线性相关的 仍然存在的 元素。

考虑现在的线性基中元素为(b_i)，每次加入的元素为(a_i)

(b_1) ((b_1=a_{k1}　xor　a_{k2}　xor　a_{k3}....))

(b_2) ((b_2=a_{h1}　xor　a_{h2}　xor　a_{h3}....))

(b_3) ((b_1=a_{g1}　xor　a_{g2}　xor　a_{g3}....))

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我们考虑形式化要求:即每次加入一个(x) :

1.若x与当前线性基中元素线性无关，直接加入即可；

2.否则，找到 (x　xor　a_{k1}　xor　ａ_{k2}　xor　a_{k3}....=0) ，将出现时间最靠前的(a_k)替换掉

定义

每一个(b_i)可以由许多(a_k)异或表示，我们定义$ id_i(为组成)b_i(的)a_k$中出现时间最小的时间

维护

我们现在维护一个线性基，满足对于线性基中每一个元素(i)，(id_i)都不同。

每一次我们将所有的 (x　xor　b_{k1}　xor　b_{k2}　xor　b_{k3}....=0)，找出来

从高位到低位逐位替换，则时间最靠前的(a_k)一定是最小的(id_k) ，我们只要将(b_k)中(id_k)最小的替换掉就行了。

我们考虑当前位为(b_i) ，如果我们要加入x，可以:

1.将(x　xor　b_i) 向下递归;

2.将(b_i)替换成(x)((id_i)也替换) ，将(x　xor　b_i) 向下递归；

如果进行1操作，向下递归的(x　xor　b_i) 的(id)值将会改成(id_i) ，可我们要求每个(b_i)的(id)值不同，所以1操作不符合要求。

考虑进行2操作，向下递归的(x　xor　b_i) 的(id)值将会改成(id_i) ，而原(b_i)上的数也(x)替换((id_i)也被替换)，符合要求。

总结一下(代码实现)

每一次加入元素(x) (x的(id) 定义为(id_x))，找到当前最高位的与(x)有关的(b_i) :

1.若(id_x<id_i) ，将$x　xor　b_i $向下递归。

2.若(id_x>id_i) ，将(b_i)替换成(x)((id_i)也替换为(id_x)) ，将$x　xor　b_i (()id_x$为原来的 (id_i) )向下递归。

直到找到一个空位置，将(x)插入，等同于插入操作；或(x)异或成0，相当于替换操作