魔法弹（线性基）

Posted 2021-01-10 mynameispc

魔法弹（线性基）

给出n个m位数，问它们张成的异或集合的大小。

关于线性基，这篇博文讲的太好了：

所谓线性基，就是线性代数里面的概念。一组线性无关的向量便可以作为一组基底，张起一个线性的向量空间，这个基地又称之为线性基。这个线性基的基底进行线性运算，可以表示向量空间内的所有向量，也即所有向量可以拆成基底的线性组合。
在ACM领域，线性基主要用来处理有关异或和的极值问题。根据异或按照二进制数位进行的方式，我们可以把一个数字拆成它的二进制表示形式，而这个二进制形式拆成一位一位的，可以用向量来表示。显然，一组线性无关的向量可以张起一个向量空间，我们同样可以考虑构造这样一组数字的二进制形式组成的线性基。在这个线性基里面，我可以通过基底的线性组合、异或运算，表示所有的异或结果。
要构造这样的线性基，首先要满足一个性质：任取向量组中两个向量a、b，把其中一个替换成a xor b，这组向量线性组合得到的线性空间相同。这个性质对于xor来说是显然的，因为xor偶数具有抵消性。有了这个性质，就可以利用它对加入的向量进行修改。基本思路是：对于一个新加入的数字，从最高为考试往后扫，如果某一位该向量是1，但是之前的向量组中没有一个这一位是1，那么这一位就放如这个数字并且break；如果之前已经有该位为1的，那么该数字异或该位之前对应的数字。最后的结果是，新加入的数字x，要么被添加到某一个二进制位，要么变成0，说明这个数字对应的二进制向量不属于极大线性无关组。
线性基构造完毕，我们就要求其极值。很多时候我们需要求一堆数字最大的异或和，这个时候就要用到线性基。线性基构造完毕之后，根据它的定义，任何线性基所张的向量空间的所有向量都能够表示为其线性组合。所以我们只需要找，这个线性基中最大的向量即可。做法就是，从高位开始取线性基的每一个基底，如果异或能够使得结果变大，那么就异或。同时，这个还支持有初始值的最大值，因为线性基可以表示所有的向量，所以即使有一个初始值也是能够一起计算最大值的。

补充一下：n个的线性基能张成(2^n)个不同的元素，同时，有(2^{n-1})个元素满足第i位为1（当然前提是线性基中有第i位为1的数）。可以这样考虑：找到一个第i位为1的线性基x，那么剩下n-1个元素随便异或，能张成(2^{n-1})个数。为了让第i位为1，这些数中第i位为0的数需要异或x，否则就不用异或x。因此，这(2^{n-1})个数都一一对应一个第i位为1的数。

对于这道题，尝试按位考虑。对于一个位，由于在线性基张成的空间中有(2^{n-1})个数这个位为1，因此它对总和的贡献是(x2^{n-1})，x表示这个位的权值。

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn=405, mod=1e9+7;
int n, m, A[maxn];
struct Bigint{
    int a[maxn];  //从低到高
    bool empty(){
        int flag=1;
        for (int i=0; i<=m; ++i) if (a[i]) flag=0;
        return flag;
    }
    Bigint(){ memset(a, 0, sizeof(a)); }
    Bigint(char *s):Bigint(){
        for (int i=0; i<m; ++i) a[m-i-1]=s[i]-48;
        for (int i=0; i<m; ++i) A[i]|=a[i]; }
    int& operator[](int x){ return a[x]; }
    int value(){
        int re=0;
        for (int i=m; ~i; --i)
            re=(re*2+a[i])%mod;
        return re;
    }
}p[maxn];
Bigint operator ^(const Bigint &a, const Bigint &b){
    Bigint ans;
    for (int i=0; i<=m; ++i) ans[i]=a.a[i]^b.a[i];
    return ans; }

int fpow(int a, int x){
    LL base=a, ans=1;
    for (; x; x>>=1, (base*=base)%=mod)
        if (x&1) (ans*=base)%=mod;
    return ans; }

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    char s[maxn]; Bigint t;
    for (int i=1; i<=n; ++i){
        scanf("%s", s);
        t=Bigint(s);
        for (int j=m; ~j; --j){
            if (!t[j]) continue;
            if (p[j].empty()) p[j]=t;
            t=t^p[j];
        }
    }
    LL ans=0, cnt=0, mi=1;
    for (int i=0; i<=m; ++i) if (!p[i].empty()) ++cnt;
    for (int i=0; i<=m; ++i){
        if (i) mi<<=1; mi%=mod;
        if (!A[i]) continue;
        ans+=fpow(2, cnt-1)*mi; ans%=mod;
    }
    printf("%lld
", ans);
    return 0;
}