tarjan 拓扑排序 dpbzoj1093: [ZJOI2007]最大半连通子图

Posted 2020-11-21 antiquality

思维难度不大，关键考代码实现能力。一些细节还是很妙的。

Description

　　一个有向图G=(V,E)称为半连通的(Semi-Connected)，如果满足：?u,v∈V，满足u→v或v→u，即对于图中任意
两点u，v,存在一条u到v的有向路径或者从v到u的有向路径。若G‘=(V‘,E‘)满足V‘?V，E‘是E中所有跟V‘有关的边，
则称G‘是G的一个导出子图。若G‘是G的导出子图，且G‘半连通，则称G‘为G的半连通子图。若G‘是G所有半连通子图
中包含节点数最多的，则称G‘是G的最大半连通子图。给定一个有向图G，请求出G的最大半连通子图拥有的节点数K
，以及不同的最大半连通子图的数目C。由于C可能比较大，仅要求输出C对X的余数。

Input

　　第一行包含两个整数N，M，X。N，M分别表示图G的点数与边数，X的意义如上文所述接下来M行，每行两个正整
数a, b，表示一条有向边(a, b)。图中的每个点将编号为1,2,3…N，保证输入中同一个(a,b)不会出现两次。N ≤1
00000, M ≤1000000；对于100%的数据， X ≤10^8

Output

　　应包含两行，第一行包含一个整数K。第二行包含整数C Mod X.

Sample Input

6 6 20070603
1 2
2 1
1 3
2 4
5 6
6 4

Sample Output

3
3

---

题目分析

首先来分析一下题目给的约束条件到底在描述一个什么东西。

半连通子图？

乍一看好像“半连通子图”是个非常麻烦的东西，但是显然一个环肯定是一个半连通子图，于是我们可以先缩点。

缩完点之后就变成一个DAG了，这时多画几个图就会发现，若一个子图是半连通子图，则它必定是一条链。这个其实是挺显然的，这里就不用形式化的语言描述了。

于是求最大半连通子图就变成了求：缩点后，求有向图带点权的最长链。

方案数

那么DAG求最长链很容易，记忆化搜索或者拓扑排序都可以。求方案数的话，也就是类似dp的方法，用$g[i]$表示以$i$为终点最长链的方案数，转移起来也挺方便的。

对了为了统计方案数，连通块之间的连边需要去重。

从黄学长博客上学到一种挺巧妙的去重方法（虽然说知道后很简单，但是还是很妙的），就是对于$(u,v)$，每次操作完记录$vis[v]=u$，若遇到$vis[v]=u$则退出。

 

于是就变成了：tarjan+拓扑+dp的板子汇总题

我是把之前写的tarjan板子套上去了，所以有点长……都3k了

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 typedef long long ll;
  3 const int maxn = 100035;
  4 const int maxm = 1200035;
  5 
  6 int n,m;
  7 int deg[maxn],vis[maxn],q[maxn],qHead,qTail;
  8 int head[maxn],nxt[maxm],edges[maxm],edgeTot;
  9 ll p,col[maxn],cols,size[maxn],f[maxn],g[maxn];
 10 ll mx,cnt;
 11 
 12 int read()
 13 {
 14     char ch = getchar();
 15     int num = 0;
 16     bool fl = 0;
 17     for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
 18         if (ch==‘-‘) fl = 1;
 19     for (; isdigit(ch); ch = getchar())
 20         num = (num<<1)+(num<<3)+ch-48;
 21     if (fl) num = -num;
 22     return num;
 23 }
 24 namespace tarjanSpace
 25 {
 26     int stk[maxn],cnt;
 27     int a[maxn],dfn[maxn],low[maxn],tim;
 28     int edgeTot,edges[maxm],nxt[maxm],head[maxn];
 29     void tarjan(int now)
 30     {
 31         dfn[now] = low[now] = ++tim, stk[++cnt] = now;
 32         for (int i=head[now]; i!=-1; i=nxt[i])
 33         {
 34             int v = edges[i];
 35             if (!dfn[v])
 36                 tarjan(v), low[now] = std::min(low[now], low[v]);
 37             else if (!col[v])
 38                 low[now] = std::min(low[now], dfn[v]);
 39         }
 40         if (low[now]==dfn[now])
 41         {
 42             ::col[now] = ++::cols, ::size[cols] = 1;
 43             for (; stk[cnt]!=now; cnt--, ::size[cols]++)
 44                 ::col[stk[cnt]] = ::cols;
 45             cnt--;
 46         }
 47     }
 48     inline void addedgeInner(int u, int v)
 49     {
 50         edges[++edgeTot] = v, nxt[edgeTot] = head[u], head[u] = edgeTot;
 51     }
 52     inline void addedgeOuter(int u, int v)
 53     {
 54         deg[v]++, ::edges[++::edgeTot] = v, ::nxt[::edgeTot] = ::head[u], ::head[u] = ::edgeTot;
 55     }
 56     void dealOuter()
 57     {
 58         for (int i=1; i<=n; i++)
 59         {
 60             int u = col[i];
 61             for (int j=head[i]; j!=-1; j=nxt[j])
 62                 if (u!=col[edges[j]])
 63                     addedgeOuter(u, col[edges[j]]);
 64         }
 65         cols--;
 66     }
 67     void solve()
 68     {
 69         memset(head, -1, sizeof head);
 70         cnt = tim = edgeTot = 0;
 71         for (int i=1; i<=n; i++) addedgeInner(0, i);
 72         for (int i=1; i<=m; i++)
 73         {
 74             int u = read(), v = read();
 75             addedgeInner(u, v);
 76         }
 77         tarjan(0);
 78         dealOuter();
 79     }
 80 }
 81 void topoSort()
 82 {
 83     qHead = 0, qTail = 0;
 84     for (int i=1; i<=cols; i++)
 85     {
 86         if (!deg[i]) q[++qTail] = i;
 87         f[i] = size[i], g[i] = 1;
 88     }
 89     while (qHead!=qTail)
 90     {
 91         int u = q[++qHead];
 92         for (int i=head[u]; i!=-1; i=nxt[i])
 93         {
 94             int v = edges[i];
 95             if ((--deg[v])==0) q[++qTail] = v;
 96             if (vis[v]==u) continue;
 97             if (f[v] < f[u]+size[v])
 98                 f[v] = f[u]+size[v], g[v] = g[u];
 99             else if (f[v]==f[u]+size[v])
100                 g[v] = (g[v]+g[u])%p;
101             vis[v] = u;
102         }
103     }
104 }
105 int main()
106 {
107     memset(head, -1, sizeof head);
108     n = read(), m = read(), p = read();
109     tarjanSpace::solve();
110     topoSort();
111     for (int i=1; i<=cols; i++)
112         if (f[i] > mx)
113             mx = f[i], cnt = g[i];
114         else if (f[i]==mx)
115             cnt = (cnt+g[i])%p;
116     printf("%lld
%lld
",mx,cnt);
117     return 0;
118 }

 

END