常用不等式例题整理

Posted 2020-11-21 dummyummy

1.设(a,b,c>0)，(abc=1)，求证：(a^2+b^2+c^2leqslant a^3+b^3+c^3)。
解：不妨设(ageqslant bgeqslant c)，由切比雪夫不等式，有(a^3+b^3+c^3geqslant frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{3}geqslant a^2+b^2+c^2)。


2.设(a,b,c>0)，(a^2+b^2+c^2=1)，求证：(frac{a}{1-a^2}+frac{b}{1-b^2}+frac{c}{1-c^2}geqslant frac{3}{2})。
解：(ecausesum frac{a}{1-a^2}=sum frac{a^2}{a(1-a^2)}\ecause[a(1-a^2)]^2=frac{1}{2}cdot 2a^2cdot (1-a^2)cdot (1-a^2)leqslant frac{1}{2}cdot (frac{2}{3})^3=frac{4}{27})
( herefore a(1-a^2)leqslant frac{2}{3sqrt{3}})
同理，(b(1-b^2)leqslant frac{2}{3sqrt{3}},c(1-c^2)leqslant frac{2}{3sqrt{3}})
( herefore LHSgeqslant sum frac{a^2}{frac{2}{3sqrt{3}}}=frac{3sqrt{3}}{2})


3.设(alpha,eta,gammain(0,frac{pi}{4}))，且(alpha+eta+gamma=frac{pi}{2})，求证：(tan^2alpha+tan^2eta+tan^2gammaleqslant 2)。
解：考虑局部不等式(tan^2 xleqslant frac{4}{pi}x)，其中(xin(0,frac{pi}{4}))，求导之后易得本式正确性。
( herefore tan^2alphaleqslant frac{4}{pi}alpha,tan^2etaleqslant frac{4}{pi}eta,tan^2gammaleqslant frac{4}{pi}gamma)
三式相加，即可得(tan^2alpha+tan^2eta+tan^2gammaleqslant 2)