数论专题——素数

Posted 2020-11-20 v-vip

　　　　　　数论专题（1）——素数

 

　　　　素数，又叫质数，定义是除了1和它本身以外不再有其他的因数

　　　　根据定义，可以用以下程序来判断一个数是否为素数

bool prime(int x) {//判断x是否为质数,时间复杂度为O(n)
    if(x <= 1) return false; 
    for(int i = 2; i < x; i ++)
        if(x % i == 0) return false;
    return true;
}

 

　　　　接下来要加速了哦

bool prime2(int x){  //判断是否为质数，时间复杂度为O（sqrt(n)） 
    if(x <= 1) return false; 
    for(int i = 2; i <= sqrt(x + 0.5); i ++)  //0.5是防止根号的精度误差 
        if(x % i == 0) return false;
    return true;

    //另一种写法，可避免根号的精度误差 
    if(x <= 1) return false; 
    for(int i = 2; i * i <= x; i++)
        if(x % i == 0) return false;
    return true;
}

 

　　　　虽然已经挺快的了，但是如果 n 比较大的话就不好玩了

　　　　so... 接下来我们要讲一种更快的算法——埃拉托斯特尼筛法（咦~，好长），那就简称埃氏筛法吧

　　　原理：如果找到一个质数，那么这个质数的倍数都不是质数

void init() {  //时间复杂度O(nloglogn) 我也不知道怎么算出来的 2333
    for(int i = 2; i < N; i++) prime[i] = true;
    for(int i = 2; i * i < N; i++)
        if(prime[i])
            for(int j = i * i; j < N; j += i)  //因为之前的都判断过了，所以从i*i开始就可以了 
                prime[j] = false;
}

int main() {
    scanf("%d", &N);
    init();
}

 

　　　　线性筛法（欧拉筛法）

　　保证每个合数只会被它的最小质因数筛去，因此每个数只会被标记一次，所以时间复杂度是O(n)

void prime() {
    for(int i = 2; i < n; i++) {
        if(!check[i]) prime[tot++] = i;
        for(int j = 0; j < tot; ++j) {
            if(i * prime[j] > n) break;
            check[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

 

　　基于埃式筛法的原理，我们可以用它干很多事，比如：

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 100000 + 5;
vector<int> prime_factor[N];
void init() {
    for(int i = 2; i < N; i ++)
        if(prime_factor[i].size() == 0)  //如果i是质数 
            for(int j = i; j < N; j += i)
                prime_factor[j].push_back(i); 
}
int main() {
    init();
}

预处理每个数的所有质因数

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 100000 + 5;
vector<int> factor[N];
void init() {
    for(int i = 2; i < N; i ++)
        for(int j = i; j < N; j += i)
            factor[j].push_back(i); 
}
int main() {
    init();
}

预处理每个数的所有因数

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 100000 + 5;
vector<int> prime_factor[N];
void init() {
    int temp;
    for(int i = 2; i < N; i ++)
        if(prime_factor[i].size() == 0)
            for(int j = i; j < N; j += i){
                temp = j;
                while(temp % i == 0){
                    prime_factor[j].push_back(i);
                    temp /= i;
                }  
            }
}
int main() {
    init();
}

预处理每个数的质因数分解

 

　　推荐博客（专门讲素数的哦）：https://www.cnblogs.com/grubbyskyer/p/3852421.html