经典同态加密算法Paillier解读 - 原理实现和应用

Posted 2022-12-11 孙晓军82

摘要

随着云计算和人工智能的兴起，如何安全有效地利用数据，对持有大量数字资产的企业来说至关重要。同态加密，是解决云计算和分布式机器学习中数据安全问题的关键技术，也是隐私计算中，横跨多方安全计算，联邦学习和可信执行环境多个技术分支的热门研究方向。

本文对经典同态加密算法Pailier算法及其相关技术进行介绍，重点分析了Paillier的实现原理和性能优化方案，同时对基于公钥的加密算法中的热门算法进行了横向对比。最后介绍了Paillier算法的一些实际应用。

【关键词】：同态加密，多方安全计算，联邦学习，隐私计算

1 背景知识

1.1 同态加密

同态加密（Homomorphic Encryption，HE）[1] 是将数据加密后，对加密数据进行运算处理，之后对数据进行解密，解密结果等同于数据未进行加密，并进行同样的运算处理。同态加密的概念最初在1978年，由Ron Rivest，Leonard Adleman和Michael L. Dertouzos共同提出，旨在解决在不接触数据的前提下，对数据进行加工处理的问题。

目前，同态加密支持的运算主要为加法运算和乘法运算。按照其支持的运算程度，同态机密分为半同态加密（Partially Homomorphic Encryption, PHE）和全同态加密（Fully Homomorphic Encryption, FHE）。半同态加密在数据加密后只持加法运算或乘法运算中的一种，根据其支持的运算的不同，又称为加法同态加密或乘法同态加密。半同态加密由于机制相对简单，相对于全同态加密技术，拥有着更好的性能。全同态加密对加密后的数据支持任意次数的加法和乘法运算。

1.2 复合剩余类问题

如果存在一个数$y\in {\mathbb{Z}}_{n^2}^{\ast }$, 那么符合公式$z\equiv y^n(mod{n}^2)$的数z，称为y的模$n^2$的n阶剩余。复合剩余类问题（decisional composite residuosity assumption , DCRA)，指的是给定一个合数n和整数z，很难确定模$n^2$的n阶剩余数z是否存在。

1.3 中国剩余定理

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem, CRT），又称为孙子定理，源于《孙子算经》，是数论中的一个关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
翻译为数学语言为：

$$\{\begin{array}{r}x\equiv 2(mod3)\\ x\equiv 3(mod5)\\ x\equiv 2(mod7)\end{array}$$

其通用方程为：
$$\{\begin{array}{r}x\equiv a_0(mod{n}_0)\\ x\equiv a_1(mod{n}_1)\\ ...\\ x\equiv a_k(mod{n}_k)\end{array}$$

中国剩余定理的解法流程为：

1. 计算所有模数的乘积 $n={\prod }_{i=0}^k{n}_i$
2. 计算$m_i=n/n_i,c_i=m_i\ast m_i^{-1}$
3. 方程组的解为：$x={\sum }_{i=0}^k{a}_i{c}_i(modn)$

2 Paillier算法原理

2.1 Paillier简介

在Paillier算法出现之前，基于公钥加密的算法主要有两个分支：

• 以RSA为代表的，基于大数因数分解难题的公钥加密算法
• 以ElGama为代表的，基于大数离散对数难题的公钥加密算法

Paillier加密算法，由Pascal Paillier于1999年发表，给出了公钥加密算法的一个新的分支领域。Paillier基于复合剩余类难题，满足加法同态和数乘同态，具有非常高效的运行时性能。

2.2 一个典型的应用场景

图1 传统联邦学习

同态加密算法使得密文数据，在没有额外数据泄露的情况下，可以在第三方平台进行进一步加工处理。随着大规模云计算的兴起，尤其是涉及到敏感数据的云计算，同态加密算法将是其中至关重要的技术基础。我们以一个典型的联邦学习的例子为切入点，看看Paillier算法的原理和在实践中应用的问题。

假设Alice和Bob想共同训练一个网络模型，Alice和Bob各自持有一部分训练数据，并且他们不想把自己的数据泄露给对方。那么在训练期间，Alice和Bob需要交互各自训练的梯度数据，并根据双方的梯度数据，共同计算一个对双方都合适的梯度值，用来执行联合梯度下降过程。

2019年，Ligeng Zhu等人发表的“Deep Leakage from Gradients”论文中给出了一种算法[2]，可以从几次迭代的梯度数据中，推断出训练的数据，标签，模型等一系列隐私信息。这使得在分布式机器学习中，通过传输梯度数据来进联合模型训练变得不再安全。那么如果在梯度数据传输的过程中，传输的是加密后的梯度数据，并且这些加密数据可以进行二次计算，那么便可以规避梯度数据传输过程带来的安全风险。

2.3 Paillier算法

2.3.1 密钥生成

类似于RSA算法，Paillier也拥有公钥和私钥对。

• Alice选择两个大素数p=11，q=19(目前已知512bit的非对称密钥已经可以破解，实际应用中通常选用非常大的素数)
• Alice计算p和q的乘积n = p * q = 209, 并计算λ = lcm(p – 1, q - 1)
• Alice选择一个随机整数g, $g\in {\mathbb{Z}}_{n^2}^{\ast }$
• Alice定义函数$L(x)=\frac{x-1}{n}$ , 并计算模反元素 $\mu ={L(g^{\lambda }mod{n}^2)}^{-1}modn$

在上述过程中，Alice总计生成了6个数字：

p = 11
q = 19
n = 209
λ = 90
g = 147
μ = 153

Alice将 n 和g 封装成公钥 public-key = (n, g)
将λ和μ封装成私钥: private-key = (λ, μ)

2.3.2 加密

假设Bob需要加密明文m， 0 <= m < n. 且Bob收到了Alice发送过来的公钥（n, g）

• Bob选择一个随机数r,满足0 < r < n
• Bob计算加密后的密文 c = g^m.rⁿ mod n²

m = 8
r = 3
n_square = pow(n, 2) # n_square = 43681
c = gmpy2.mod(pow(g, m)*pow(r, n), n_square) # c =  32948

2.3.3 解密

假设c是Bob发送过来的密文，且$c\in {\mathbb{Z}}_{n^2}^{\ast }$
Alice计算明文$m=L(c^{\lambda }mod{n}^2)\ast \mu modn$

c = 32948
m  = gmpy2.mod(L(gmpy2.mod(pow(c, lam), n_square), n) * mu, n) # m = 8

正确性证明

为了证明解密操作的正确性，我们把加密的公式代入：
$DEC(c)=L(c^{\lambda }mod{n}^2)\ast \mu modn=L({{(g}^m{r}^{n}mod{n}^2)}^{\lambda }mod{n}^2)\ast \mu modn=L{(g}^{\lambda m}{r}^{以上是关于经典同态加密算法Paillier解读\; -\; 原理实现和应用的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章}$

同态加密之Paillier算法

Paillier半同态加密：原理高效实现方法和应用

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