矩阵乘法优化dp

Posted 2020-11-18 shzr

矩阵乘法优化dp

　　前几天学姐说要给我们考矩乘dp和期望dp...其实我们都（也可能只有我）不会。

　　那只能现学了，然而学了一天突然通知不考了qwq

 

矩阵乘法

　　A矩阵为m*k，B矩阵为k*n，两矩阵相乘则得C矩阵为m*n;

for (int i=1;i<=M;++i)
    for (int j=1;j<=N;++j)
        for (int k=1;k<=K;++k)
            c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%mod;

矩阵乘法模板

　　  时间复杂度为$O(N^3)$，数学一本通上提到了一种奇妙的矩阵乘法$Strassen：O(N^{2.81})$，但是非常非常复杂非常非常难写，于是就不写了（而且我也不会）；

 

矩阵快速幂

　　其实和数字快速幂的思想是一样的。有一个小技巧:如果一个矩阵的主对角线全为1，其他部分为0，对于另一个矩阵来说就相当于单位元，相乘不变；

　　矩阵快速幂：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3390

　　

# include <cstdio>
# include <iostream>

using namespace std;

const int P=1e9+7;
struct s
{
    long long a[101][101];
}A,ans;
long long k;
int n;

s mul(s a,s b)
{
    s c;
    for (int i=1;i<=n;i++)
      for (int j=1;j<=n;j++)
        c.a[i][j]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
      for (int j=1;j<=n;j++)
        for (int k=1;k<=n;k++)
          c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%P)%P;
    return c;
}

void qui (long long k)
{
    while (k)
    {
        if(k&1) ans=mul(ans,A);
        A=mul(A,A);
        k=k>>1;
    }
    return ;
}

int main()
{
    scanf("%d%lld",&n,&k);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%lld",&A.a[i][j]);
    for (int i=1;i<=n;i++)
      for (int j=1;j<=n;j++)
        if(i==j) ans.a[i][j]=1;
    qui(k);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
      for (int j=1;j<=n;j++)
        printf("%lld ",ans.a[i][j]);
      printf("
");
    }
    return 0;
}

矩阵快速幂

 

矩乘优化数列递推

　　矩阵乘法可以用来加速线性的递推式(也许也可以加速别的递推吧)，思路非常棒;

　　首先构造一列数列，保存与递推$f[n]$有关的项，以斐波那契数列为例：

　　$f[n]=f[n-1]+f[n-2]$ 所以构造的矩阵为

　　　　　　$egin{bmatrix}
f[n-1] \
f[n-2]
end{bmatrix}$