形态形成场（矩阵乘法优化dp）

Posted 2020-12-25 mynameispc

形态形成场（矩阵乘法优化dp）

短信中将会涉及前(k)种大写字母，每个大写字母都有一个对应的替换式(Si)，替换式中只会出现大写字母和数字，比如(A→BB,B→CC0,C→123)，代表 (A=12312301231230,B=1231230,C=123)。现在对于给定的替换式，求字符 AA 所代表的串有多少子串满足：

• 这个子串为单个字符(0)或没有前导(0)。
• 把这个子串看作一个十进制数后模(n)等于(0)。

答案对(r)取模。对于100%的数据，$2 leq r leq 10^9; 1 leq k leq 26; 4 leq left| S_i ight| leq 100 $。

首先可以想出一个暴力dp：(f[i][j])表示到第i位时，模n为j的串的个数，那么显然(f[i][(10j+s[i])\%n]+=f[i-1][j])。复杂度是(O(len imes n))。

但是这样只能拿60分，并不能过这道题。怎么办呢？观察一下题目，其实就是将一个字符的字符串展开以后dp，并且最多展开26层，同一个字符可能被展开多次。有没有想到矩阵优化dp？由于每次(f[s[i]\%n])要加上1，因此不能用传统的矩阵递推数列，还必须在向量中加上一维常量1。为了方便，再在向量中加一维ans。向量长这样：

((f_0, f_1, f_2,dots,f_{n-1},ans,1))。

这样转移矩阵(g[n+1][n+1])就可以被描述为：

(left [ egin{matrix} & 第1列 & 第i列 & 第n列 & 第n+1列 \第一行 & dots & dots & 1&0 \ 第二行 & dots & dots & 0 & 0 \ 第三行 & dots & dots & 0 & 0 \ dots \ 第n行 & 0 & 0 & 1 & 0 \ 第n+1行 & 0 & [s[i]=ch]*[ch!='0'] & 0 & 1end{matrix} ight ])

先将矩阵进行处理，再把初始向量和矩阵相乘。((0, 0, dots,0, 1)*g[n+1][n+1]=(f_0, f_1, dots,ans,1))，答案就是(f_0+ans)。由于初始向量只有第n+1项是1，所以(f_0+ans=g[n+1][0]+g[n+1][n])。

注意单个字符0不能被漏掉统计，因此需要记录串中的0的个数。

#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxk=30, maxn=40, maxl=105;
int n, r, k, zero[maxn];
char s[maxk][maxl];
struct Mat{
    int g[maxn][maxn];
}matrix[maxn], C;
void up(int &x, int y){ x+=y-r; x=(x<0?x+r:x); }
Mat& operator *(const Mat &A, const Mat &B){
    memset(C.g, 0, sizeof(C.g));
    for (int i=0; i<=n+1; ++i)
    for (int j=0; j<=n+1; ++j)
    for (int k=0; k<=n+1; ++k)
        up(C.g[i][j], 1ll*A.g[i][k]*B.g[k][j]%r);
    return C;
}

void build(int id){  //复合字符'A'+i 所对应的转移矩阵 
    int len=strlen(s[id]), num;
    Mat &now=matrix[id], trans;
    for (int i=0; i<=n+1; ++i) now.g[i][i]=1;  //相当于直接让转移矩阵相乘 
    for (int i=3; i<len; ++i){
        if (isdigit(s[id][i])){
            num=s[id][i]-'0';
            memset(trans.g, 0, sizeof(trans.g));
            trans.g[0][n]=trans.g[n][n]=trans.g[n+1][n+1]=1;
            for (int j=0; j<n; ++j) trans.g[j][(j*10+num)%n]=1;
            if (num) trans.g[n+1][num%n]=1;
            else up(zero[id], 1);
            now=now*trans;
        } else {
            num=s[id][i]-'A';
            now=now*matrix[num];
            up(zero[id], zero[num]);
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d%d", &n, &r, &k);
    for (int i=0; i<k; ++i) scanf("%s", s[i]);
    for (int i=k-1; ~i; --i) build(i);
    int ans=zero[0]; up(ans, matrix[0].g[n+1][0]);
    up(ans, matrix[0].g[n+1][n]);
    printf("%d
", ans);
    return 0;
}