leetcode之动态规划刷题总结7

Posted 2022-03-04 nuist__NJUPT

leetcode之动态规划刷题总结7

动态规划（英语：Dynamic programming，简称 DP）是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。

动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，并且记录所有子问题的结果，因此动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。

动态规划有自底向上和自顶向下两种解决问题的方式。自顶向下即记忆化递归，自底向上就是递推。

使用动态规划解决的问题有个明显的特点，一旦一个子问题的求解得到结果，以后的计算过程就不会修改它，这样的特点叫做无后效性，求解问题的过程形成了一张有向无环图。动态规划只解决每个子问题一次，具有天然剪枝的功能，从而减少计算量。

1-最长定差子序列
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思路：动态规划
由于我们总是在左侧找一个最近的等于arr[i]−difference 元素并取其对应dp 值，因此我们直接用 dp[num] 表示以 num为结尾的最长的等差子序列的长度，这样 dp[num−difference] 就是我们要找的左侧元素对应的最长的等差子序列的长度.

class Solution 
    public int longestSubsequence(int[] arr, int difference) 
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>() ;
        int ans = 0 ;
        for(int num : arr)
            map.put(num, map.getOrDefault(num-difference,0)+1) ;
            ans = Math.max(ans,map.get(num)) ;
        
        return ans ;
    

2-不相交的直线
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思路：动态规划
这一题刚看的时候感觉很牛的样子，仔细一看，发现就是求两个数组的最长公共子序列，dp[i][j]表示nums1[0;i]与nums[0:j]的最长公共子序列。

我们很容易得到递推表达式：

class Solution 
    public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) 
        //其实就是求nums1数组和nums2数组的最长公共子序列
        int n = nums1.length , m = nums2.length ;
        int [][] dp = new int [n+1][m+1] ;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            int x = nums1[i-1] ;
            for(int j=1; j<=m; j++)
                int y = nums2[j-1] ;
                if(x==y)
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 ;
                else
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) ;
                
            
        
        return dp[n][m] ;
    

3-字符串的好分割数目
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思路：使用left数组和right数组分别记录左边和右边不同字母对应得个数，初始时左边为空串，右边为整个字符，用a，b变量记录左右得不同字符串得个数。

class Solution 
    public int numSplits(String s) 
        //分别使用left数组和right数组记录左边和右边不同字符的个数
        int [] left = new int [26] ;
        int [] right = new int [26] ;
        int ans = 0 ;
        for(int i=0; i<s.length(); i++)
            right[s.charAt(i)-'a'] ++ ;
        
        int a=0, b=0 ;
        for(int i=0; i<26; i++)
            if(left[i] > 0)
                a ++ ;
            
            if(right[i]>0)
                b ++ ;
            
        
        for(int i=0; i<s.length(); i++)
            if(left[s.charAt(i)-'a']==0)
                left[s.charAt(i)-'a'] ++ ;
                a ++ ; //累记左边不同字符的个数
            
            if(--right[s.charAt(i)-'a']==0)
                b -- ; //累记右边不同字符的个数
            
            if(a == b)
                ans ++ ;
            
        
        return ans ;
    

4-可被3整除得最大和
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思路：动态规划思想，使用数组remainder[0]记录对3取余等于0的最大和，remainder[1]记录对3取余等于1的最大和，remainder[2]记录对3取余等于2的最大和。

class Solution 
    public int maxSumDivThree(int[] nums) 
        int n = nums.length ;
        int [] remiander = new int [3] ;
        for(int i=0; i<nums.length; i++)
            int a = nums[i] + remiander[0] ;
            int b = nums[i] + remiander[1] ;
            int c = nums[i] + remiander[2] ;
            remiander[a%3] = Math.max(a,remiander[a%3]) ;
            remiander[b%3] = Math.max(b,remiander[b%3]) ;
            remiander[c%3] = Math.max(c,remiander[c%3]) ;
        
        return remiander[0] ;
    

5-统计全为1的正方形子矩阵
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思路:dp[i][j]表示以(i,j)为右下标的正方形数目，我们仔细思考一下可以得到如下状态转移方程：

图中f[i][j]即为dp[i][j]

class Solution 
    public int countSquares(int[][] matrix) 
        //dp[i][j]表示以(i,j)为右下角的正方形数目
        int m = matrix.length ;
        int n = matrix[0].length ;
        int [][] dp = new int [m][n] ;
        int ans = 0 ;
        for(int i=0; i<m; i++)
            for(int j=0; j<n; j++)
                if(i==0 || j==0)
                    dp[i][j] = matrix[i][j] ;
                else if(matrix[i][j] == 0)
                    dp[i][j] = 0 ;
                else
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j],Math.min(dp[i-1][j-1],dp[i][j-1])) + 1 ;
                
                ans += dp[i][j] ;
            
        
        return ans  ;
    

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3月37日，4月9日，两场contest,希望多一点AC，少一点WA，冲吧.

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