有向图中的欧拉电路

Posted 2021-04-18

如何检查有向图是否为欧拉？

1）所有非零度的顶点都属于单个强连通分量。

2）入度等于每个顶点的出度。来源：geeksforgeeks

问题：在给定的两个条件下，第一个条件严格吗？我的意思是为什么图真正需要“强”连接图？如果图形刚刚连接怎么办？

我了解到条件1可以用弱连接图代替。同样，如果图只是连接而不是弱连接，该怎么办？将很高兴看到一些示例。

P.S：在以上讨论中，条件2总是得到满足。通过“仅连接”，我的意思是图中存在一个顶点，从该顶点可以到达所有其他顶点。

答案

这是一个有趣的问题。据我所知，在有向图的上下文中，“连接”没有标准化的含义。有向图中连通性的两个一般概念是

• 强连通性，对于任何对u和v的节点，都有从u到v的路径以及从v到u的路径，以及
• 弱连通性，其中连接了通过忽略箭头的方向性而形成的无向图。

您的“有连接”的有向图版本与这些定义略有不同，但是与强大的连通性有关。任何有向图都可以将其节点划分为strongly connected components（SCC），这些节点组可以相互到达。这些强连接的组件形成一个DAG，其中每个强连接的组件都是一个节点，并且如果第一个SCC中的一个节点与第二个SCC中的一个节点都有一条边缘，则从一个SCC到另一个SCC会有一条边缘。

然后您可以像这样将图的定义“固定连接”起来：

• “仅已连接”：SCC的DAG的源节点可以到达所有其他节点。

[注意，“仅连接”表示弱连接，但并非相反。

事实证明，在这种情况下，如果有一个图，其中每个节点的入度恰好等于其出度，那么，如果该图是“刚刚连接的”，则它具有一个欧拉电路。如果您的图形是“刚刚连接”，则它是弱连接。然后，我们要声明，indegree等于outdegrees的任何弱连接图也必须是强连接的。要看到这一点，请在SCC的DAG中选择没有传入边缘的任何SCC。进入此SCC中任何节点的任何边必须来自该SCC内部。结果，如果我们遍历SCC中的每个节点并累加离开该节点的边数，则该总数将与SCC中每个节点的传入边数相匹配。但是，由于节点的度数的总和等于节点的度数的总和，因此，由于考虑了所有边缘，因此在此SCC中不会再有任何边缘开始于另一个SCC。因此，此SCC没有边缘。

我们刚刚表明，任何源SCC都不得与任何其他SCC发生冲突。而且，由于某个源SCC中有一个可以到达每个节点的节点，这意味着图中没有其他SCC，因此该图只有一个SCC，因此是牢固连接的。