有关欧拉通路/回路的一些资料整理

Posted 2020-10-13

这两天看了下欧拉回路，整理下资料，以备以后回顾。

1.欧拉回路，欧拉通路，欧拉图

无向图：

1）设G为连通无向图，则称经过G的每条边一次仅且一次的路径为欧拉通路。

2）如果欧拉通路是回路（起点和终点是同一个顶点），则称此回路为欧拉回路。

3）具有欧拉回路的无向图G称为欧拉图。

有向图：

1）设D是连通有向图，则称经过G的每条边一次仅且一次的有向路径为有向欧拉通路。

2）如果有向欧拉通路是回路，则称此回路为有向欧拉回路。

3）具有有向欧拉回路的有向图G称为有向欧拉图。

 

 

2.定理及推论

定理1：无向图G存在欧拉通路的充要条件是：G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或无奇度结点。

推论1.1：当G是仅有两个奇度结点的连通图时，G的欧拉通路必以此两个节点为端点。

推论1.2：当G是无奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路。

推论1.3：G为欧拉图（存在欧拉回路）的充要条件是G为无奇度结点的连通图。

 

定理2：有向图D存在欧拉通路的充要条件是：D为有向连通图，并且所有顶点的出度和入度相等；或者除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度和入度之差为-1。

推论2.1：当D除出度入度之差为1，-1的顶点外，其他顶点的出度和入度都相等时，D的有向欧拉通路必以出度入度之差为1的顶点为始点，出度入度之差为-1的顶点为终点。

推论2.2：当D的所有顶点的出度和入度都相等时，D中存在有向欧拉回路。

推论2.3：有向图D为有向欧拉图的充要条件是D的基图为连通图，并且所有顶点的出度和入度相等。

 

3.欧拉回路的应用

• 哥尼斯堡七桥问题
• 一笔画问题。
• 旋转鼓轮的设计

4.欧拉回路的判定

无向图：连通图，所有顶点都为偶度数

有向图：连通图，所有顶点出度等于入度

 

5.欧拉回路输出路径

1.DFS搜索

利用欧拉定理判断出一个图存在欧拉回路后，选择一个正确的起始顶点，用DFS遍历所有的边（每条边只遍历一遍），遇到走不通则回退。在搜索前进方向上将遍历的边顺序记录下来。

这组边组成的就是欧拉回路。（判断该图是不是欧拉回路，在此基础上输出欧拉回路）

2.套圈法

从一个图中寻找存在的欧拉回路。（看得挺晕的，还不会，emmm...）