欧拉回路

Posted 2020-08-27 安

欧拉欧拉

欧拉通路: 通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的通路

欧拉回路: 通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的回路

有向图的基图：忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图。 

无向图

  设G是连通无向图，则称经过G的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路；

 如果欧拉通路是回路（起点和终点是同一个顶点），则称此回路是欧拉回路

  具有欧拉回路的无向图G成为欧拉图

有向图

（1）设D是有向图，D的基图连通，则称经过D的每条边一次并且仅有一次的有向路径为 有向欧拉通路

（2）如果有向欧拉通路是有向回路，则称此有向回路为  有向欧拉回路

（3）具有有向欧拉回路的图D称为有向欧拉图

定理

 无向图G存在欧拉通路的充要条件是：G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。

推论

（1） 当G是仅有两个奇度结点的连通图时，G的欧拉通路必以此两个结点为端点；

（2）当G是无奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路

（3）G为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是  G为无奇度结点的连通图

 

（有向图） 定理

有向图D存在欧拉通路的充要条件是：D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度相等；或者  除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度与入度之差为-1.

推论

（1）当D除出、入度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度相等时，D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点，以出、入度之差为-1的顶点作为终点。

（2）当D的所有顶点的出、入度都相等时，D中存在有向欧拉回路。

（3）有向图D为有向欧拉图的充要条件是  D的基图为连通图，并且所有顶点的出、入度都相等。

 欧拉回路的求解

两种方法：（1）DFS搜索  （Fleury）佛罗莱算法

（1）DFS搜索 思想求解欧拉回路的思路为：利用欧拉定理判断出一个图存在欧拉通路或欧拉回路后，选择一个正确的起始顶点，用DFS算法遍历所有的边（每条边只遍历一次），遇到走不通就回退。在搜索前进方向上将遍历过的边按顺序记录下来。这组边的排列就组成了一条欧拉通路或回路。

（2） （Fleury）佛罗莱算法

设G为一个无向欧拉图，求G中一条欧拉回路的算法如下：

（1） 任取G中一顶点v0，令P0=v0；

（2）假设沿Pi=v0e1v1e2v2......eivi走到顶点vi，按下面方法从E(G)-{e1,e2,...,ei}中选ei+1。

        ei+1与vi相关联

        除非无别的边可供选择，否则ei+1不应该是Gi=G-{e1,e2,...,ei}中的桥。

（3）当（2）不能再进行时算法停止。

        可以证明的是，当算法停止时，所得到的简单回路Pm=v0e1v1e2v2......emvm，（vm=v0）为G中一条欧拉回路。

 备注知识：

  设无向图G(V,E)为连通图，若边集E1属于E，在图G中删除E1中所有的边后得到的子图是不连通的，而删除了E1的任一真子集后得到的子图是连通图，则称E1是G的一个割边集。若一条边构成一个割边集，则称该边为割边，或桥

Dfs的方法

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int edge[1001][1001];
int du[1001],pre[1001];
int n,m,start,step,vis[1001],flag;

void dfs(int s)
{
    if(s==start) vis[s]=2;
    for(int i=1;i!=start&&i<=n;i++)
     if(edge[s][i]==1)
       {
              edge[s][i]=edge[i][s]=0;
           dfs(i);
           if(vis[i]==2&&i==n)
           {
                 flag=1;
           }
       }
    pre[++step]=s;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        edge[x][y]=edge[y][x]=1;
        du[x]++;
        du[y]++;
    }
    int start=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      if(du[i]%2==1)
         start=i;
    dfs(start);
    if(flag==1)//判断是否是欧拉回路 
      printf("YES\\n");
    else
      printf("NO\\n");
    for(int i=1;i<=step;i++)
      cout<<pre[i]<<" ";
    return 0;
}

心若向阳，无言悲伤

 

 

佛罗莱算法

//欧拉路径的输出(此图为无向图)

#include<iostream>

using namespace std;

#define M 200

struct stack

{    int top,node[M];

}s;             //顶点的栈结构

int Edge[M][M]; //邻接矩阵

int n;          //顶点个数

void dfs(int x)   //这里的深度优先跟标准版有所区别，即不需要回溯

{   s.top++;

    s.node[s.top]=x;   //将即将要扩展的结点压入栈中

    for(int i=0;i<n;i++)

    {

        if(Edge[i][x]) //如果该节点还存在边

        {

            Edge[i][x]=0; 

            Edge[x][i]=0;  //删除该边，然后搜索另一结点

            dfs(i);

            break;

        }

    }

}

void Fleury(int x)    //对头节点使用Fleury算法 查找欧拉路径

{   s.top=0;

    s.node[s.top]=x;

    while(s.top>=0)

    {   int flag=0;  //记录当前结点是否有边可以扩展

        for(int i=0;i<n;i++)

        {

            if(Edge[i][s.top])

            {   flag=1;

                break;

            }

        }

        if(!flag)

        {

            cout<<s.node[s.top]+1<<" "; //记录时是从0--n-1，所以应该加1

            s.top--;                    //结点输出了，此结点出栈

        }

        else

        {

            s.top--;              //因为dfs处理时，需要先进栈，所以这里要先出栈，然后再进栈

            dfs(s.node[s.top+1]); //处理那个结点

        }

    }

    cout<<endl;

}

 

int main()

{

    int m,s,t;            //边数，读入的边的起点和终点

    int degree,num,start; //每个顶点的度、基度顶点个数、欧拉回路的起点

    cin>>n>>m;            //n---顶点数  m---边数

    memset(Edge,0,sizeof(Edge));

    for(int i=0;i<n;i++)

    {

        cin>>s>>t;

        Edge[s-1][t-1]=1;

        Edge[t-1][s-1]=1;

    }

    num=0;

    start=0;   //如果存在奇度顶点，则从奇度顶点出发，否则从顶点0出发

    for(int i=0;i<n;i++)

    {

        degree=0;

        for(int j=0;j<n;j++)

            degree+=Edge[i][j];

        if(degree%2)

        {

            num++;

            start=i;

        }

    }

    if(num==0||num==2) Fleury(start);

    else cout<<"No Euler path"<<endl;

    return 0;

}