如何在缩放和旋转后计算点的坐标？

Posted 2021-04-16

我在图像中有6个点的坐标

(170.01954650878906, 216.98866271972656)
(201.3812255859375, 109.42137145996094)
(115.70114135742188, 210.4272918701172)
(45.42426300048828, 97.89037322998047)
(167.0367889404297, 208.9329833984375)
(70.13690185546875, 140.90538024902344)

我有一点作为中心[89.2458, 121.0896]。我试图用4个旋转度（从0,90，-90,180）和6个比例因子（0.5,0.75,1,1.10,1.25,1.35,1.5）重新计算python中点的位置。 我的问题是如何旋转和缩放相对于中心点的上述点并获得这6个点的新坐标？

非常感谢您的帮助。

答案

Mathematics

数学方法是将这些数据表示为从中心到图像点的矢量，将这些矢量转换为原点，应用变换并将它们重新定位在中心点周围。让我们来看看它的工作原理。

Representation as vectors

我们可以在网格中显示这些向量，这将产生以下图像

此图像提供了查看这些点的好方法，因此我们可以看到我们的行为以可视方式发生。中心点在所有箭头的开头标有一个点，每个箭头的末尾是问题中提供的一个点的位置。

矢量可以看作是点坐标值的列表

my_vector = [point[0], point[1]]

可以是python中矢量的表示，它只保存一个点的坐标，因此问题中的格式可以按原样使用！请注意，在我的答案中，我将使用位置0作为x坐标，使用1作为y坐标。

我只添加了这种表示作为视觉辅助，我们可以将任意两个点视为矢量，不需要计算，这只是查看这些点的不同方式。

Translation to origin

第一次计算发生在这里。我们需要将所有这些向量转换为原点。例如，我们可以通过从所有其他点减去中心点的位置来轻松完成此操作（可以在一个简单的循环中完成）：

point_origin_x = point[0] - center_point[0] # Xvalue point - Xvalue center
point_origin_y = point[1] - center_point[1] # Yvalue point - Yvalue center

现在可以围绕原点旋转结果点并相对于原点进行缩放。新点（作为向量）看起来像这样：

在这张图片中，我故意保持比例不变，因此很明显这些是完全相同的矢量（箭头），在大小和方向上，只是转移到（0,0）左右。

Why the origin

那么为什么要将这些点转换为原点呢？好吧，旋转和缩放动作很容易（在数学上）围绕原点进行，而不是在其他点周围容易。

此外，从现在开始，我将只在这些图像中包含第1，第2和第4点以节省一些空间。

Scaling around the origin

缩放操作在原点周围非常容易。只需将点的坐标乘以缩放系数：

scaled_point_x = point[0] * scaling_factor
scaled_point_y = point[1] * scaling_factor

以可视方式，看起来像这样（全部缩放1.5）：

其中蓝色箭头是原始矢量，红色箭头是缩放矢量。

Rotating

现在轮换。这有点困难，因为旋转通常用与该向量的矩阵乘法来描述。

要乘以的矩阵如下

（来自wikipedia: Rotation Matrix）

因此，如果V是向量而不是我们需要执行V_r = R(t) * V来获得旋转向量V_r。这个旋转总是逆时针旋转！为了顺时针旋转，我们只需要使用R(-t)。

因为在问题中只需要90°的倍数，矩阵变得几乎无足轻重。对于逆时针旋转90°，矩阵为：

这基本上是代码：

rotated_point_x = -point[1]    # new x is negative of old y
rotated_point_y = point[0]     # new y is old x

同样，这可以通过视觉方式很好地显示：

在哪里我匹配了矢量的颜色。

顺时针旋转90°

rotated_counter_point_x = point[1]    # x is old y
rotated_counter_point_y = -point[0]   # y is negative of old x

180°的旋转将采用负坐标，或者您可以按-1的比例缩放，这基本上是相同的。

作为这些操作的最后一点，我可以补充说，您可以按顺序缩放和/或旋转，以获得所需的结果。

Translating back to the center point

在缩放动作和/或旋转之后，剩下的唯一事情是将向量重新转换到中心点。

retranslated_point_x = new_point[0] + center_point_x
retranslated_point_y = new_point[1] + center_point_y

一切都完成了。

Just a recap

所以回顾这篇长篇文章：

1. 从图像点的坐标中减去中心点的坐标
2. 通过简单地乘以坐标来缩放因子
3. 使用矩阵乘法的思想来考虑旋转（你可以在Google或维基百科上轻松找到这些东西）。
4. 将中心点的坐标添加到图像点的新坐标

我现在意识到我可以给出这个回顾，但是现在这篇文章中至少有一些视觉辅助和一些轻微的数学背景，这也很好。我真的相信这些问题应该从数学角度来看，数学描述可以帮助很多。