是∃x（P（x））是∃x（x∈S∧P（x））还是∃x（x∈S→P（x））的缩写？

Posted 2021-04-14

在离散数学及其应用中

作者：Kenneth H. Rosen

在第2章第2.1节（pdf中的第124页）

“使用带有量词的集合表示法

有时，我们通过使用特定符号明确地限制量化语句的域。例如，∀x∈S（P（x））表示集合S中所有元素的P（x）的通用量化。换句话说，∀x∈S（P（x））是∀x的简写（ x∈S→P（x））。类似地，∃x∈S（P（x））表示对S中所有元素的P（x）的存在量化。即，∃x∈S（P（x））是∃x的简写（x∈S∧） P（x））。 “

但对于∃x（x∈S→P（x）），是不是∃x∈S（P（x））的简写？

如果它是∃x（x∈S∧P（x））的∃x∈S（P（x））简写，那么为什么呢？是不是'∧'（和）必须用'→'（impiles that）代替？

答案

原始描述似乎是正确的。差异是由于将量化陈述“限制”为较小集合的性质。我将重新解释英语中的逻辑：对于通用量化，你想说S中的每个元素都满足P，换句话说，对于任何x，如果x在S中，那么x必须满足P.对于存在量化，你我想说S中有一些元素满足P，换句话说，有一些x使得x在S中，并且x满足P.

另一方面，你的提议，∃x(x ∈ S → P (x))意味着别的东西。这意味着有一些x使得“如果x在S中，则x满足P”。特别是，S之外的任何x都将满足该声明。

例如，采取设置S = {1, 2, 3}和条件P(x) = x > 4。现在∃x∈S(P (x))应该是假的，因为在S中没有满足P的x。当然，∃x(x ∈ S ∧ P (x))是假的。但是由于数字5，∃x(x ∈ S → P (x))是正确的。数字5不在S中，因此，它满足“如果x在S中则x满足P”。如果您对此感到惊讶，请参阅truth table of implication。这就是逻辑中如何定义“暗示”。