P-Function

Posted 2020-09-16 ph = x

题意：

对于集合 $S = {1, 2, ...., n}$ , 定义函数 $F(x) = y, x, y$ 属于 $S$，对于任何 $x$ 属于 $S$，

有 $F(F...F(x)) = x$, $F$ 出现了 $K$ 次，则这个函数为 $P-function$，问 $P-function$ 的数量。

 

解法：

注意到 $P-function$ 实质上是 一个 $1$ ~ $n$ 的置换，对于该置换中的所有循环，有 $length | K$。

考虑dp，

$f(i, j)$ 表示考虑前 $i$ 个 $K$ 的因数，确定了 $j$ 个元素的循环形状的方案数。

假定当前循环长度为 $d$，这样考虑每一次决定好 当前剩余最小元素所在的循环。

这样有：

$f(i,j) = \sum{ f(i-1, j-d) C_{j-1}^{d-1} (d-1)!}$

应用滚动数组，复杂度$O(n \sqrt n)$

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>>
#include <algorithm>

#define N 20010
#define P 1000000007LL
#define LL long long

using namespace std;

LL inv[N], f[N], fac[N], rfac[N];
vector<int> Div;

LL qpow(LL x,int n)
{
    LL ans = 1;
    for(;n;n >>= 1, x = x * x % P)
        if(n & 1) ans = ans * x % P;
    return ans;
}

LL comb(int n, int m)
{
    if(n < m) return 0;
    return fac[n] * rfac[n-m] %P * rfac[m] %P;
}

int main()
{
    inv[0] = 1;
    fac[0] = 1;
    rfac[0] = 1;
    for(int i = 1;i < N;i++)
    {
        fac[i] = fac[i-1] * i % P;
        inv[i] = qpow(i, P-2);
        rfac[i] = qpow(fac[i], P-2);
    }
    int T, n, K;
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        cin >> n >> K;
        Div.clear();
        for(int i = 1;i*i <= K;i++)
            if(K % i == 0)
            {
                Div.push_back(i);
                if(i * i != K) Div.push_back(K / i);
            }
        sort(Div.begin(),Div.end());
        f[0] = 1LL;
        for(int i = 1;i <= n;i++)
        {
            f[i] = 0;
            for(int j = 0;j < (int)Div.size() && Div[j] <= i;j++)
                f[i] += f[i - Div[j]] * comb(i - 1, Div[j] - 1) %P * fac[Div[j]-1] %P;
            f[i] %= P;
        }
        cout << f[n] << endl;
    }
    return 0;
}

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