整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

Posted 2020-11-17 lune-qiu

参考博文：http://www.cnblogs.com/nailperry/p/4752987.html，主要就是从数字出发找规律。

一、1的数目

编程之美上给出的规律：

1. 如果第i位（自右至左，从1开始标号）上的数字为0，则第i位可能出现1的次数由更高位决定（若没有高位，视高位为0），等于更高位数字X当前位数的权重10i-1。

2. 如果第i位上的数字为1，则第i位上可能出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响（若没有低位，视低位为0），等于更高位数字X当前位数的权重10i-1+（低位数字+1）。

3. 如果第i位上的数字大于1，则第i位上可能出现1的次数仅由更高位决定（若没有高位，视高位为0），等于（更高位数字+1）X当前位数的权重10i-1。

二、X的数目

这里的  X∈[1,9] ，因为  X=0  不符合下列规律，需要单独计算。

首先要知道以下的规律：

• 从 1 至 10，在它们的个位数中，任意的 X 都出现了 1 次。
• 从 1 至 100，在它们的十位数中，任意的 X 都出现了 10 次。
• 从 1 至 1000，在它们的百位数中，任意的 X 都出现了 100 次。

依此类推，从 1 至  10 i ，在它们的左数第二位（右数第  i  位）中，任意的 X 都出现了  10 i?1  次。

这个规律很容易验证，这里不再多做说明。

接下来以  n=2593,X=5  为例来解释如何得到数学公式。从 1 至 2593 中，数字 5 总计出现了 813 次，其中有 259 次出现在个位，260 次出现在十位，294 次出现在百位，0 次出现在千位。

现在依次分析这些数据，首先是个位。从 1 至 2590 中，包含了 259 个 10，因此任意的 X 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593，因为它们最大的个位数字 3 < X，因此不会包含任何 5。（也可以这么看，3<X，则个位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（259）X101-1=259）。

然后是十位。从 1 至 2500 中，包含了 25 个 100，因此任意的 X 都出现了  25×10=250  次。剩下的数字是从 2501 至 2593，它们最大的十位数字 9 > X，因此会包含全部 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。（也可以这么看，9>X，则十位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（25+1）X102-1=260）。

接下来是百位。从 1 至 2000 中，包含了 2 个 1000，因此任意的 X 都出现了  2×100=200  次。剩下的数字是从 2001 至 2593，它们最大的百位数字 5 == X，这时情况就略微复杂，它们的百位肯定是包含 5 的，但不会包含全部 100 个。如果把百位是 5 的数字列出来，是从 2500 至 2593，数字的个数与百位和十位数字相关，是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。（也可以这么看，5==X，则百位上可能出现X的次数不仅受更高位影响，还受低位影响，等于更高位数字（2）X103-1+（93+1）=294）。

最后是千位。现在已经没有更高位，因此直接看最大的千位数字 2 < X，所以不会包含任何 5。（也可以这么看，2<X，则千位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（0）X104-1=0）。

到此为止，已经计算出全部数字 5 的出现次数。

总结一下以上的算法，可以看到，当计算右数第  i  位包含的 X 的个数时：

1. 取第  i  位左边（高位）的数字，乘以  10 i?1 ，得到基础值  a 。
2. 取第  i  位数字，计算修正值：
   1. 如果大于 X，则结果为  a+ 10 i?1 。
   2. 如果小于 X，则结果为  a 。
   3. 如果等 X，则取第  i  位右边（低位）数字，设为  b ，最后结果为  a+b+1 。

相应的代码非常简单，效率也非常高，时间复杂度只有  O( log 10 n) 。

代码：pow（int a , int b）求a的b次方

public int NumberOfXBetween1AndN_Solution(int n,int x) {
    if(n<0||x<1||x>9)
        return 0;
    int high,low,curr,tmp,i = 1;
    high = n;
    int total = 0;
    while(high!=0){
        high = n/(int)pow(10, i);// 获取第i位的高位
        tmp = n%(int)pow(10, i);
        curr = tmp/(int)pow(10, i-1);// 获取第i位
        low = tmp%(int)pow(10, i-1);// 获取第i位的低位
        if(curr==x){
            total+= high*(int)pow(10, i-1)+low+1;
        }else if(curr<x){
            total+=high*(int)pow(10, i-1);
        }else{
            total+=(high+1)*(int)pow(10, i-1);
        }
        i++;
    }
    return total;       
}

对于high，high不是指某一位而是指一个整数。